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प्रश्न
सिद्ध कीजिए।
cot2θ - tan2θ = cosec2θ - sec2θ
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उत्तर
बायाँ पक्ष = cot2θ - tan2θ
= `(cosec^2theta - 1) - (sec^2theta - 1)` ......`[(because cosec^2theta = 1 + cot^2theta),(therefore cot^2theta = cosec^2theta - 1),(because sec^2theta = 1 + tan^2theta),(therefore tan^2theta = sec^2theta - 1)]`
= `cosec^2theta - 1 - sec^2theta + 1`
= `cosec^2theta - sec^2theta`
= दायाँ पक्ष
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष
∴ cot2θ - tan2θ = cosec2θ - sec2θ
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`sin^2theta/costheta + costheta = sectheta`
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secθ + tanθ = `cosθ/(1 - sinθ)`
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sec2θ + cosec2θ = sec2θ × cosec2θ
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sec6x - tan6x = 1 + 3sec2x × tan2x
cot θ + tan θ = cosec θ × sec θ सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: बायाँ पक्ष = cot θ + tan θ
= `cosθ/sinθ + square/cosθ`
= `(square + sin^2θ)/(sinθ xx cosθ)`
= `1/(sinθ xx cosθ)` ...........(∵ `square`)
= `1/sinθ xx 1/cosθ`
= `square` × sec θ
∴ बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
θ का निरसन कीजिए:
x = r cosθ तथा y = r sinθ
sin2θ + cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
Δ ABC में, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°
AB2 + BC2 = `square` .....(पायथागोरस प्रमेय)
दोनों पक्षों में AC2 से भाग देने पर,
`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`
∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`
परन्तु `"AB"/"AC" = square और "BC"/"AC" = square`
∴ `sin^2 theta + cos^2 theta = square`
