Question

Prove the following trigonometric identities.

`(1 + cos θ + sin θ)/(1 + cos θ - sin θ) = (1 + sin θ)/cos θ`

Prove the following:

`(1 + cos θ + sin θ)/(1 + cos θ - sin θ) = (1 + sin θ)/cos θ`

Answer 1

`(1 + cos θ + sin θ)/(1 + cos θ - sin θ) = (1 + sin θ)/cos θ`

Consider the LHS = `(1 + cos θ + sin θ)/(1 + cos θ - sin θ)`

`= ((1 + cos θ + sin θ)/(1 + cos θ - sin θ))((1 + cos θ + sin θ)/(1 + cos θ + sin θ))`

`= (1 + cos θ + sin θ)^2/((1 + cos θ)^2 sin^2 θ)`

`= (2 + 2(cos θ + sin θ + sin θ cos θ))/(2 cos^2 θ+ 2 cos θ)`

`= (2(1 + cos θ)(1 + sin θ))/(2 cos θ (1 + cos θ))`

`= (1 + sin θ)/cos θ`

= RHS

Hence proved