Question

Prove the following trigonometric identities.

(sec A − cosec A) (1 + tan A + cot A) = tan A sec A − cot A cosec A

Answer 1

We have to prove  (sec A − cosec A) (1 + tan A + cot A) = tan A sec A − cot A cosec A

We know that `sin^2 A + cos^2 A = 1`

So,

`(sec A − cosec A) (1 + tan A + cot A) = (1/cos A - 1/sin A)(1 + sinA/cos A + cos A/sin A)`

`= ((sin A - cos A)/(sin A cos A))((sin A cos A + sin^2 A + cos^2 A)/(sin A cos A))`

`= ((sin A - cos A)/(sin A cos A)) ((sin A cos A + 1)/(sin A cos A))`

`= ((sin A - cos A)(sin A cos A + 1))/(sin^2 A cos^2 A)`

`= (sin^2 A cos A + sin A - cos^2 A sin A - cos A)/(sin^2 A cos^2 A)`

`= ((sin^2 A cos A - cos A) + (sin A - cos^2 A sin A))/(sin^2 A cos^2 A)`

`= (cos A(sin^2 A - 1) + sin A (1 - cos^2 A))/(sin^2 A cos^2 A)`

`= (cos A(-cos^2 A) + sin A (sin^2 A))/(sin^2 A cos^2 A)`

`= (-cos^3 A + sin^3 A)/(sin^2 A cos^2 A)`

`= (sin^3 A - cos^3 A)/(sin^2 A cos^2 A)`

`= sin^3 A/(sin^2 A cos^2 A) - cos^3 A/(sin^2 A cos^2 A)`

`= sin A/cos^2 A = cos A/sin^2 A`

`= sin A/cos A 1/cos A - cos A/sin A  1/sin A`

= tan A sec A - cot A cosec A

Hence proved.