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प्रश्न
किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
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उत्तर
दिया है ∆ABC के शीर्षों A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D(x, y) है तो
`x = (3 + 5)/2 = 8/2 = 0`
`y = (-2 + 2)/2 = 0/2 = 0`
अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, -2)
ar (ADB) = `1/2` [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 - 0)]
= `1/2` [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]
= `1/2` [8 + 16 - 18]
= `1/2` (24 - 18)
= `1/2 xx 6`
= 3 वर्ग मात्रक
एवं ∆ADC में A(4, -6), D(4, 0) एवं C(5, 2) हैं
ar (ADC) = `1/2` [4 (0 - 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 - 0)]
= `1/2` [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]
= `1/2` [-8 + 32 - 30]
= `1/2 xx [-6]`
= -3 वर्ग मात्रक
लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक
ar (ADB) = ar (ADC)
अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्
संबंधित प्रश्न
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(-5, -1), (3, -5), (5, 2)
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में, (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) और (2, 3) हैं।
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