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प्रश्न
किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।
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उत्तर
दिया है ∆ABC के शीर्षों A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D(x, y) है तो
`x = (3 + 5)/2 = 8/2 = 0`
`y = (-2 + 2)/2 = 0/2 = 0`
अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, -2)
ar (ADB) = `1/2` [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 - 0)]
= `1/2` [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]
= `1/2` [8 + 16 - 18]
= `1/2` (24 - 18)
= `1/2 xx 6`
= 3 वर्ग मात्रक
एवं ∆ADC में A(4, -6), D(4, 0) एवं C(5, 2) हैं
ar (ADC) = `1/2` [4 (0 - 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 - 0)]
= `1/2` [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]
= `1/2` [-8 + 32 - 30]
= `1/2 xx [-6]`
= -3 वर्ग मात्रक
लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक
ar (ADB) = ar (ADC)
अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
इति सिद्धम्
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