Question

किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं।

Answer 1

दिया है ∆ABC के शीर्षों A(4, -6), B(3, -2) और C(5, 2) हैं तथा माध्यिका AD है, जहाँ BC का मध्य-बिन्दु D(x, y) है तो

`x = (3 + 5)/2 = 8/2 = 0`

`y = (-2 + 2)/2 = 0/2 = 0`

 

अब ∆ADB में A (4, -6), D (4, 0) एवं B (3, -2)

ar (ADB) = `1/2` [4 (0 + 2) + 4 (-2 + 6) + 3 (-6 - 0)]

= `1/2` [4 (2) + 4 (4) + 3 (-6)]

= `1/2` [8 + 16 - 18]

= `1/2` (24 - 18)

= `1/2 xx 6`

= 3 वर्ग मात्रक

एवं ∆ADC में A(4, -6), D(4, 0) एवं C(5, 2) हैं

ar (ADC) = `1/2` [4 (0 - 2) + 4 (2 + 6) + 5 (-6 - 0)]

= `1/2` [4 (-2) + 4 (8) + 5 (-6)]

= `1/2` [-8 + 32 - 30]

= `1/2 xx [-6]`

= -3 वर्ग मात्रक

लेकिन क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि होती है = ar (ADC) = 3 वर्ग मात्रक

ar (ADB) = ar (ADC)

अतः किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उस त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।

इति सिद्धम्