Question

यदि बिंदु `D((-1)/2, 5/2) , E(7, 3)` और `F(7/2, 7/2)` एक त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

Answer 1

माना A = (x₁, y₁), B = (x₂, y₂) और C = (x₃, y₃) ∆ABC के शीर्ष हैं।

दिया गया है, `D(- 1/2, 5/2), E(7, 3)` और `F(7/2, 7/2)` क्रमश: भुजा BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं।

चूंकि, `D(- 1/2, 5/2)` BC का मध्य बिंदु है।

∴ `(x_2 + x_3)/2 = - 1/2`

`["चूंकि, बिन्दुओं वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु"  (x_1, y_1)  "और"  (x_2, y_2)  "is"  ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`

और `(y_2 + y_3)/2 = 5/2`

⇒ x₂ + x₃ = – 1  ...(i)

और y₂ + y₃ = 5  ...(ii)

चूंकि E(7, 3) CA का मध्य-बिंदु है।

∴ `(x_3 + x_1)/2` = 7

और `(y_3 + y_1)/2` = 3

⇒ x₃ + x₁ = 14  ...(iii)

और y₃ + y₁ = 6   ...(iv)

इसके अलावा, `F(7/2, 7/2)` AB का मध्य-बिंदु है।

∴ `(x_1 + x_2)/2 = 7/2`

और `(y_1 + y_2)/2 = 7/2`

⇒ x₁ + x₂ = 7  ...(v)

और y₁ + y₂ = 7 ...(vi)

समीकरणों (i), (iii) और (v) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।

2(x₁ + x₂ + x₃) = 20

⇒ x₁ + x₂ + x₃ = 10  ...(vii)

समीकरण (i), (iii) और (v) को समीकरण (vii) से क्रमशः घटाने पर हम प्राप्त करते हैं।

x₁ = 11, x₂ = – 4, x₃ = 3

समीकरणों (ii), (iv) और (vi) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं।

2(y₁ + y₂ + y₃) = 18

⇒ y₁ + y₂ + y₃ = 9  ...(viii)

समीकरण (ii), (iv) और (vi) को समीकरण (viii) से क्रमशः घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं। 

y₁ = 4, y₂ = 3, y₃ = 2

अतः, ∆ABC के शीर्ष हैं, A(11, 4), B(– 4, 3) and C(3, 2)

∵ ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆ = `1/2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]`

∴  ∆ = `1/2[11(3 - 2) + (-4)(2 - 4) + 3(4 - 3)]`

= `1/2[11 xx 1 + (-4)(-2) + 3(1)]`

= `1/2(11 + 8 + 3)`

= `22/2`

= 11

∴ ∆ABC का अभीष्ट क्षेत्रफल = 11