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प्रश्न
यदि बिंदु `D((-1)/2, 5/2) , E(7, 3)` और `F(7/2, 7/2)` एक त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं, तो ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
माना A = (x1, y1), B = (x2, y2) और C = (x3, y3) ∆ABC के शीर्ष हैं।
दिया गया है, `D(- 1/2, 5/2), E(7, 3)` और `F(7/2, 7/2)` क्रमश: भुजा BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं।
चूंकि, `D(- 1/2, 5/2)` BC का मध्य बिंदु है।
∴ `(x_2 + x_3)/2 = - 1/2`
`["चूंकि, बिन्दुओं वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु" (x_1, y_1) "और" (x_2, y_2) "is" ((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)]`
और `(y_2 + y_3)/2 = 5/2`
⇒ x2 + x3 = – 1 ...(i)
और y2 + y3 = 5 ...(ii)
चूंकि E(7, 3) CA का मध्य-बिंदु है।
∴ `(x_3 + x_1)/2` = 7
और `(y_3 + y_1)/2` = 3
⇒ x3 + x1 = 14 ...(iii)
और y3 + y1 = 6 ...(iv)
इसके अलावा, `F(7/2, 7/2)` AB का मध्य-बिंदु है।
∴ `(x_1 + x_2)/2 = 7/2`
और `(y_1 + y_2)/2 = 7/2`
⇒ x1 + x2 = 7 ...(v)
और y1 + y2 = 7 ...(vi)
समीकरणों (i), (iii) और (v) को जोड़ने पर, हम पाते हैं।
2(x1 + x2 + x3) = 20
⇒ x1 + x2 + x3 = 10 ...(vii)
समीकरण (i), (iii) और (v) को समीकरण (vii) से क्रमशः घटाने पर हम प्राप्त करते हैं।
x1 = 11, x2 = – 4, x3 = 3
समीकरणों (ii), (iv) और (vi) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं।
2(y1 + y2 + y3) = 18
⇒ y1 + y2 + y3 = 9 ...(viii)
समीकरण (ii), (iv) और (vi) को समीकरण (viii) से क्रमशः घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं।
y1 = 4, y2 = 3, y3 = 2
अतः, ∆ABC के शीर्ष हैं, A(11, 4), B(– 4, 3) and C(3, 2)
∵ ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆ = `1/2[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]`
∴ ∆ = `1/2[11(3 - 2) + (-4)(2 - 4) + 3(4 - 3)]`
= `1/2[11 xx 1 + (-4)(-2) + 3(1)]`
= `1/2(11 + 8 + 3)`
= `22/2`
= 11
∴ ∆ABC का अभीष्ट क्षेत्रफल = 11
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