Advertisements
Advertisements
प्रश्न
`int_0^1 x (tan^-1 x)^2 "d"x` का मान ज्ञात कीजिए।
Advertisements
उत्तर
I = `int_0^1 x (tan^-1 x)^2 "d"x`
समाकलन द्वारा हमें प्राप्त होता है:
I = `x^2 [(tan^-1 x)^2]_0^1 - 1/2 int_0^1 x^2 * 2 (tan^-1 x)/(1 + x^2) "d"x`
= `pi^2/32 - int_0^1 x^2/(1 + x^2) * tan^-1 x"d"x`
= `pi^2/32 - "I"_1`, जहाँ I1 = `int_0^1 x^2/(1 + x^2) tan^-1 x"d"x` है।
अब I1 = `int_0^1 (x^2 + 1 - 1)/(1 + x^2) tan^-1x "d"x`
= `int_0^1 tan^-1 x"d"x - int_0^1 1/(1 + x^2) tan^-1 x"d"x`
= `"I"_2 - 1/2 ((tan^-1x)^2)_0^1`
= `"I"_2 - pi^2/32`
यहाँ I2 = `int_0^1 tan^-1 x"d"x = (x tan^-1x)_0^1 - int_0^1 x/(1 + x^2) "d"x`
= `pi/4 - 1/2(log|1 + x^2|)_0^1`
= `pi/4 - 1/2 log2`
इस प्रकार, I1 = `pi/4 - 1/2 log 2 - pi^2/32`
अत:, I = `pi^2/32 - pi/4 + 1/2 log2 + pi^2/32`
= `pi^2/16 - pi/4 + 1/2 log2`
= `(pi^2 - 4pi)/16 + log sqrt(2)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
x के सापेक्ष `((2"a")/sqrt(x) - "b"/x^2 + 3"c"root(3)(x^2))` को समाकलित कीजिए।
समाकलन की एक प्रतिअवकलज के रूप में अवधारणा का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (x^3"d"x)/(x + 1) = x - x^2/2 + x^3/3 - log|x + 1| + "C"`
`int tan ^8 xsec^4 x"d"x` का मान निकालिए।
`int x^3/(x^4 + 3x^2 +2)dx` ज्ञात कीजिए।
`int x^2tan^-1 x"d"x` ज्ञात कीजिए।
`int sqrt(10 - 4x + 4x^2) "d"x` ज्ञात कीजिए।
`int "e"^x (cosx - sinx)"d"x` बराबर है
यदि [0, 1] में f और g ऐसे सतत फलन हैं, जो f (x) = f (a – x) और g (x) + g (a – x) = a, को संतुष्ट करते हैं, तो `int_0^a "f" (x) * "g"(x)"d"x` बराबर है
`int_(-1)^1 (x^3 + |x| + 1)/(x^2 + 2|x| + 1) "d"x` बराबर है
यदि `int_0^1 "e"^"t"/(1 + "t") "dt"` = a, है, तब `int_0^1 "e"^"t"/(1 + "t")^2 "dt"` बराबर है
`int_(-2)^2 |x cos pix| "d"x` बराबर है
`int_(-"a")^"a" "f"(x) "d"x` = 0 है, यदि f एक ______ फलन है।
`int_0^(2"a") "f"(x) "d"x = 2int_0^"a" "f"(x) "d"x`, यदि f(2a – x) = ______.
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
`int (2x + 3)/(x^2 + 3x) "d"x = log|x^2 + 3x| + "C"`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ((1 + cosx))/(x + sinx) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int sqrt(1 + x^2)/x^4 "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int (3x - 1)/sqrt(x^2 + 9) "d"x`
निम्नलिखित के मान निकालिए-
`int ("d"x)/(xsqrt(x^4 - 1))` (संकेत: x2 = sec `theta` रखिए)
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^1 ("d"x)/("e"^x + "e"^-x`
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int _0^(1/2) ("d"x)/((1 + x^2) sqrt(1 - x^2))` (संकेत: x sinθ रखिए)
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int sin^-1 sqrt(x/("a" + x)) "d"x` (संकेत: x = a tan2θ रखिए)
निम्नलिखित का मान निकालिए-
`int_0^1 x log(1 + 2x) "d"x`
`int tan^-1 sqrtx "d"x` बराबर है
`int "e"^x ((1 - x)/(1 + x^2))^2 "d"x` बराबर है
`int (x + 3)/(x + 4)^2 "e"^x "d"x` = ______.
यदि `int_0^"a" 1/(1 + 4x^2)"d"x = pi/8` है, तो a = ______
`int sinx/(3 + 4cos^2x) "d"x` = ______.
