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प्रश्न
ΔABC में ∠BAC = 90°, रेख BL तथा रेख CM, यह ΔABC की माध्यिकाएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि, 4(BL2 + CM2) = 5 BC2
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उत्तर
उपपत्ति: ΔBAL में,
∠BAC = 90° ............(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
BL2 = BA2 + AL2 ..........(1)
ΔMAC में, ∠MAC = 90° ............(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
CM2 = AM2 + AC2 ..........(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर,
BL2 + CM2 = BA2 + AL2 + AM2 + AC2 ............(3)
AM = `1/2`BA .............(बिंदु M यह भुजा AB का मध्यबिंदु है) ......(4)
और AL = `1/2`AC ...................(बिंदु N यह भुजा AC का मध्यबिंदु है) ......(5)
(4) और (5) के मान (3) में रखने पर,
BL2 + CM2 = BA2 + `(1/2 "AC")^2 + (1/2"BA")^2 + "AC"^2`
∴ BL2 + CM2 = BA2 + `"AC"^2/4 + "BA"^2/4 + "AC"^2`
दोनों पक्षों में 4 से गुणा करने पर,
4BL2 + 4CM2 = 4BA2 + AC2 + BA2 + 4AC2
∴ 4BL2 + 4CM2 = 5BA2 + 5AC2
∴ 4(BL2 + CM2) = 5(BA2 + AC2) ............(6)
ΔBAC में,
∠BAC = 90° ............(दत्त)
∴ पायथागोरस के प्रमेय से,
BC2 = BA2 + AC2 ..............(7)
(6) और (7) से,
4(BL2 + CM2) = 5BC2
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