Question

ΔABC में ∠BAC = 90°, रेख BL तथा रेख CM, यह ΔABC की माध्यिकाएँ हों तो सिद्ध कीजिए कि, 4(BL² + CM²) = 5 BC² 

Answer 1

उपपत्ति: ΔBAL में,

∠BAC = 90° ............(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

BL² = BA² + AL² ..........(1)

ΔMAC में, ∠MAC = 90° ............(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

CM²  = AM² + AC² ..........(2)

(1) और (2) को जोड़ने पर,

BL² + CM² = BA² + AL² + AM² + AC² ............(3)

AM = `1/2`BA .............(बिंदु M यह भुजा AB का मध्यबिंदु है) ......(4)

और AL = `1/2`AC ...................(बिंदु N यह भुजा AC का मध्यबिंदु है) ......(5)

(4) और (5) के मान (3) में रखने पर,

BL² + CM² = BA² + `(1/2 "AC")^2 + (1/2"BA")^2 + "AC"^2`

∴ BL² + CM² = BA² + `"AC"^2/4 + "BA"^2/4 + "AC"^2`

दोनों पक्षों में 4 से गुणा करने पर,

4BL² + 4CM² = 4BA² + AC² + BA² + 4AC²

∴ 4BL² + 4CM² = 5BA² + 5AC²

∴ 4(BL² + CM²) = 5(BA² + AC²) ............(6)

ΔBAC में,

∠BAC = 90° ............(दत्त)

∴ पायथागोरस के प्रमेय से,

BC² = BA² + AC² ..............(7)

(6) और (7) से,

4(BL² + CM²) = 5BC²