SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] - Maharashtra State Board Question Bank Solutions

खालील आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ ΔABC मध्ये अंतर्लिखित असून बाजू AB, बाजू BC व बाजू AC ला अनुक्रमे L, M व N बिंदूत स्पर्श करते. या वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. सिद्ध करा, की : A(ΔABC) = `1/2`(AB + BC + AC) × r

`square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. m(कंस ABC) = 230°. तर ∠ABC, ∠CDA, ∠CBE, यांची मापे काढा.

सोबतच्या आकृतीत, `square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. m(कंस BC) = 90° आणि ∠DBC = 55°, तर ∠BCD चे माप काढा.

वरील आकृतीत जीवा PQ आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू T मध्ये छेदतात. जर ∠STQ = 58° आणि ∠PSR = 24°, तर ∠STQ = `1/2` [m(कंस PR) + m(कंस SQ)] या विधानाचा पडताळा घेण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:

ΔPTS मध्ये,

∠SPQ = ∠STQ - `square`  .......[∵ त्रिकोणाच्या बाहयकोनाचे प्रमेय.]

∴ ∠SPQ = 34°

∴ m(कंस QS) = 2 × `square`° = 68°  .......[∵ `square`]

तसेच m(कंस PR) = 2∠PSR = `square`°

∴ `1/2` [m(कंस QS) + m(कंस PR)] = `1/2` × `square`° = 58°  .......(I)

परंतु  ∠STQ = 58° .........(II) [दिलेले]

∴ `1/2` [m(कंस PR) + m(कंस QS)] = ∠______   ........[(I) व (II) वरून]

वरील आकृतीत ∠L = 35° असेल, तर

1. m(कंस MN) = किती?
2. m(कंस MLN) = किती?

उकल:

1. ∠L = `1/2` m(कंस MN) ............(अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)
   ∴ `square = 1/2` m(कंस MN)
   ∴ 2 × 35 = m(कंस MN)
   ∴ m(कंस MN) = `square`
2. m(कंस MLN) = `square` - m(कंस MN) ...........(कंसाच्या मापाची व्याख्या)
   = 360° - 70°
   ∴ m(कंस MLN) = `square`

आकृती मध्ये रेख RS हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचा व्यास आहे. बिंदू T हा वर्तुळाच्या बाह्य-भागातील बिंदू आहे. तर दाखवा, की ∠RTS हा लघुकोन आहे.

आकृती मध्ये जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 108° आणि m(कंस AE) = 95° तर m(कंस DC) काढा.

आकृती मध्ये, रेख AB हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचा व्यास आहे. अंतर्लिखित कोन ACB चा दुभाजक वर्तुळाला बिंदू D मध्ये छेदतो. तर रेख AD ≅ रेख BD हे सिद्ध करा. पुढे दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून ती पूर्ण करा आणि लिहा.

सिद्धता : रेख OD काढला.

∠ACB = ______ ....(अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन)

∠DCB = ______ .....(रेख CD हा ∠C चा दुभाजक)

m(कंस DB) = ______ ....(अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)

∠DOB = ______ ....(कंसाच्या मापाची व्याख्या) (I)

रेख OA ≅ रेख OB .......... ______ (II)

∴ रेषा OD ही रेख AB ची ______ रेषा आहे. (I) व (II) वरून

∴ रेख AD ≅ रेख BD

वर्तुळाची त्रिज्या 10 सेमी आहे. वर्तुळकंसाचे माप 54° असल्यास त्या कंसाने मर्यादित केलेल्या वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा. (π =3.14) 

वर्तुळपाकळीची त्रिज्या 3.5 सेमी असून तिच्या वर्तुळकंसाची लांबी 2.2 सेमी आहे, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा. 

शेजारील आकृतीत वर्तुळाची त्रिज्या 7 सेमी आहे आणि m(कंस MBN) = 60° तर

(1) वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढा.

(2) A(O - MBN) काढा.

(3) A(O - MCN) काढा.

3.4 सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळपाकळीची परिमिती 12.8 सेमी आहे तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

आकृतीत A(P-ABC) = 154 चौसेमी आणि वर्तुळाची त्रिज्या 14 सेमी असेल, तर

(1) ∠APC चे माप काढा.

(2) कंस ABC ची लांबी काढा.

वर्तुळपाकळीची त्रिज्या 7 सेमी आहे. जर वर्तुळपाकळीच्या कंसाचे माप पुढीलप्रमाणे दिलेले आहे, तर त्या वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

30°

वर्तुळपाकळीची त्रिज्या 7 सेमी आहे. जर वर्तुळपाकळीच्या कंसाचे माप पुढीलप्रमाणे दिलेले आहे, तर त्या वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

210°

वर्तुळपाकळीची त्रिज्या 7 सेमी आहे. जर वर्तुळपाकळीच्या कंसाचे माप पुढीलप्रमाणे दिलेले आहे, तर त्या वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

3 काटकोन

आकृतीत `square`PQRS हा आयत असून PQ = 14 सेमी, QR = 21 सेमी, तर आकृतीत दाखविलेल्या x, y आणि z या प्रत्येक भागाचे क्षेत्रफळ काढा.

ΔLMN हा समभुज त्रिकोण आहे. LM = 14 सेमी. त्रिकोणाचा प्रत्येक शिरोबिंदू केंद्रबिंदू मानून व 7 सेमी त्रिज्या घेऊन आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे तीन वर्तुळपाकळ्या काढल्या. त्यावरून,

(1) A (ΔLMN) = ?

(2) एका वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

(3) तीन वर्तुळपाकळ्यांचे एकूण क्षेत्रफळ काढा.

(4) रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढा. 

जर वर्तुळाचा परीघ व वर्तुळाचे क्षेत्रफळ यांचे गुणोत्तर 2ः7 असेल तर वर्तुळाचा परीघ किती?

आकृतीत P हा वर्तुळाचा केंद्र असून रेख AB ही जीवा आहे. PA = 8 सेमी आणि जीवा AB वर्तुळकेंद्रापासून 4 सेमी अंतरावर असेल, तर रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ A काढा. (π = 3.14, `sqrt3` = 1.73)