SSC (Marathi Medium) 10th Standard Board Exam [इयत्ता १० वी] - Maharashtra State Board Question Bank Solutions

वर्तुळपाकळी A-PCQ मध्ये `square`ABCD हा चौरस आहे. C - BXD या पाकळीची त्रिज्या 20 सेमी असेल तर रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी खालील कृती करा.

उकल: चौरस ABCD ची बाजूृ = वर्तुळपाकळी C - BXD ची त्रिज्या = `square` सेमी 

चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजूृ² = `square^2` = `square` ...(l)

चौरसातील रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ = चौरस ABCD चे क्षेत्रफळ - वर्तुळपाकळी C - BXD चे क्षेत्रफळ

= `square - θ/360 xx pir^2`

= `square - 90/360 xx 3.14/1 xx 400/1`

= `square - 314`

= `square`

मोठ्या वर्तुळपाकळीची त्रिज्या = चौरस ABCD च्या कर्णाची लांबी

= `20sqrt2`

माेठ्या वर्तुळपाकळीतील चौरसाबाहेरील रेखांकित भागाचे क्षेत्रफळ

= वर्तुळपाकळी A - PCQ चे क्षेत्रफळ - चौरस ABCD चे क्षेत्रफळ

= A(A - PCQ) - A(`square` ABCD)

= `(θ/360 xx pi xx r^2) - square^2`

=  `90/360 xx 3.14(20sqrt2)^2 - (20)^2`

= `square - square`

= `square`

∴ रेखांकित भागाचे एकूण क्षेत्रफळ = 86 + 228 = 314 चौसेमी 

आकृतीमध्ये, रेख AB हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या व्यास आहे. अंतर्लिखित कोन ACB चा दुभाजक वर्तुळाला बिंदू D मध्ये छेदतो, तर रेख AD ≅ रेख BD हे सिद्ध करा. पुढे दिलल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून ती पूर्ण करा आणि लिहा.

सिद्धता:

रेख OD काढला.

∠ACB = `square` .............[अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन]

∠DCB = `square` ............[रेख CD हा ∠C चा दुभाजक]

m(कंस DB) = `square` ...........[अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]

∠DOB = `square` ..............[कंसाच्या मापाची व्याख्या] (i)

रेख OA ≅ रेख OB .............`square` (ii)

∴ रेख OD ही रेख AB ची `square` रेषा आहे. … [(i) व (ii) वरून]

रेख AD ≅ रेख BD

आकृती मध्ये रेषा PR वर्तुळाला बिंदू Q मध्ये स्पर्श करते. या आकृतीच्या आधारे खालील प्रश्नाचं उत्तर लिहा.

∠TAQ आणि ∠TSQ यांच्या मापांची बेरीज किती? 

एका वर्तुळकंसाचे माप 80° आणि त्रिज्या 18 सेमी आहे, तर त्या वर्तुळकंसाची लांबी शोधा. (π = 3.14) 

15 सेमी त्रिज्या असलेल्या एका वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ 30 चौसेमी असेल तर संबंधित वर्तुळकंसाची लांबी काढा.

आकृतीमध्ये, बिंदू O हे वर्तुळपाकळीचे केंद्र आहे. ∠ROQ = ∠MON = 60°, OR = 7 सेमी, OM = 21 सेमी, तर कंस RXQ व कंस MYN ची लांबी काढा. `(π = 22/7)` 

44 सेमी लांबी असलेल्या वर्तुळकंसाचे माप 160° असेल तर त्या वर्तुळाचा परीघ किती?

6 सेमी त्रिज्या असलेल्या एका वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ 15π सेमी² आहे, तर त्या पाकळीच्या कंसाचे माप काढा व वर्तुळकंसाची लांबी काढा. 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

आकृतीत `square`PQRS मध्ये, ∠RSP = 80°, तर ∠RQT = किती?

आकृतीमध्ये, चौकोन ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे, जर ∠DAB = 75°, तर ∠DCB चे माप काढा?

चक्रीय `square`MRPN मध्ये, ∠R = (5x - 13)° आणि ∠N = (4x + 4)°, तर ∠R आणि ∠N यांची मापे ठरवा. 

प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यांपैकी अचूक पर्याय निवडा. 

चक्रीय `square`ABCD मध्ये, कोन ∠A च्या मापाची दुप्पट ही ∠C च्या मापाच्या तिप्पटी एवढी आहे. तर ∠C चे माप किती? 

आकृती मध्ये, दोन वर्तुळे एकमेकांना बिंदू M व N मध्ये छेदतात. बिंदू M व N मधून काढलेल्या वृत्तछेदिका बिंदू R व S मध्ये, आणि बिंदू P व Q मध्ये छेदतात. तर रेख PR || रेख QS, हे सिद्ध करा.

आकृती मध्ये रेषा PR वर्तुळाला बिंदू Q मध्ये स्पर्श करते. या आकृतीच्या आधारे खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा.

(1) ∠TAQ आणि ∠TSQ यांच्या मापांची बेरीज किती? 

(2) ∠AQP शी एकरूप असणारे कोन कोणते? 

(3) ∠QTS शी एकरूप असणारे कोन कोणते?

(4) जर ∠TAS = 65°, तर ∠TQS आणि कंस TS यांची मापे सांगा.

(5) जर ∠AQP = 42° आणि ∠SQR = 58°, तर ∠ATS चे माप काढा.

15 सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाची PQ ही जीवा वर्तुळाच्या केंद्राशी 60° चा कोन करते. त्या जीवेमुळे झालेल्या विशालवर्तुळखंड आणि लघुवर्तुळखंड यांची क्षेत्रफळे काढा. (π = 3.14, `sqrt3` = 1.73) 

चक्रीय चौकोनाचा बाह्यकोन त्याच्या संलग्न कोनाच्या संमुख कोनाशी एकरूप असतो हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी पुढील कृती पूर्ण करा.

पक्ष: `square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.

`square` `square` ABCD चा बाह्यकोन आहे.

साध्य: ∠DCE ≅ ∠BAD

सिद्धता:

`square` + BCD = `square` ..........[रेषीय जोडीतील कोन] (i) 

`square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.

`square` + ∠BAD = `square` ........[चक्रीय चौकोनाचे प्रमेय] (ii)

∴ (i) व (ii) वरून

∠DCE ≅ ∠BCD = `square` + ∠BAD

∠DCE ≅ ∠BAD

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

चक्रीय चाकौनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात.

आकृतीमध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ, ∠PSR = 110°, तर ∠PQR = किती?

सिद्ध करा 'चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात.'

वरील आकृतीमध्ये, चौरस ABCD च्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात. जर AB = 14 सेमी, तर छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढा. `square` ABCD चौरसाला एक वर्तुळ आतून स्पर्श करत आहे. AB = 14 सेमी

उकलः

चौरसाचे क्षेत्रफळ  = `(square)^2`   ...(सूत्र)

= 14²

= `square  "सेमी"^2`

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ  = `(square)`   ...(सूत्र)

= `22/7 xx 7 xx 7`

= 154 सेमी²

छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ = चौरसाचे क्षेत्रफळ − वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

= 196 − 154

= `square  "सेमी"^2`