SSC (Hindi Medium) 10th Standard Board Exam [१० वीं कक्षा] - Maharashtra State Board Question Bank Solutions for Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - ज्यामिति]

7 सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठफल ज्ञात कीजिए।

हल:

गोले का पृष्ठफल = 4πr²

= `4 xx 22/7 xx square^2`

= `4 xx 22/7 xx square`

= `square xx 7`

∴ गोले का पृष्ठफल = `square` वर्ग सेमी

ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है PM = 9 और PQ² + PR² = 290 हो, तो QR ज्ञात कीजिए।

6 सेमी व्यासवाले गोले का घनफल ज्ञात कीजिए। 

आकृति में वृत्ताकार बेलन के आकार की चपटी गोली का 10 सेमी लंबाई का एक वेष्टन है। एक गोली की त्रिज्या 7 मिमी और ऊँचाई 5 मिमी हो तो ऐसी कितनी गोलियाँ उस वेष्टन में समाविष्ट होंगी?

आकृति में दर्शाएनुसार लंब वृत्ताकार बेलनवाले ग्लास में पानी किनारे तक लबलबा भरा है | उसमें 2 सेमी व्यासवाले धातु की एक गोली डुबाने पर ग्लास में बचा शेष पानी का घनफल ज्ञात करो |  

9 सेमी त्रिज्यावाले किसी धातु के ठोस गोले को पिघलाकर 4 मिमी व्यासवाला धातु का तार बनाया जाय तो उस तार की लंबाई कितने मीटर होगी? 

किसी धातु के खोखले गोले का व्यास 12 सेमी तथा उसकी मोटाई 0.01 मीटर हो तब उस खोखले गोले के बाहरी भाग का पृष्ठफल ज्ञात कीजिए तथा धातु का घनत्व 8.88 ग्राम प्रति घन सेमी हो तो उस खोखले गोले का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

किसी लंबवृत्ताकार बेलन की त्रिज्या 12 सेमी है जिसमें 20 सेमी ऊँचाई तक पानी भरा है। एक गोलाकार धातु की गेंद उसमें डुबाने पर पानी की ऊँचाई 6.75 सेमी कैसे बढ़ती है, तो उस धातु की गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

जीवा AB तथा जीवा CD, ‘O’ केंद्रवाले वृत्त की सर्वागसम जीवाएँ हैं। यदि m(चाप AB) = 120° हो, तो m(चाप CD) ज्ञात करो।

आकृति में रेख RS ; O केंद्रवाले वृत्त का व्यास है। बिंदु T वृत्त के बाह्यभाग में स्थित एक बिंदु है। तो सिद्ध कीजिए ∠RTS एक न्यूनकोण है। 

‘O’ केंद्र वाले वृत्त के चाप ACB में ∠ACB अंतर्लिखित किया गया है। यदि m∠ACB = 65° तो m(चाप ACB) = कितना?

आकृति में, रेख AB बिंदु O केंद्रवाले वृत्त का व्यास है। अंतर्लिखित ∠ACB का समद्‌विभाजक वृत्त को D बिंदु पर प्रतिच्छेदित करता है। सिद्ध कीजिए कि रेख AD ≅ रेख BD। नीचे दी गई उपपत्ति में रिक्त स्थान की पूर्ति कर पूर्ण कीजिए।

उपपत्ति : रेख OD खींचिए।

∠ACB = `square` (अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोण)

∠DCB = `square` (रेख CD, ∠C का समद्‌विभाजक है)

m(चाप DB) = `square` (अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)

∠DOB = `square` (चाप के माप की परिभाषा) (I)

रेख OA ≅ रेख OB..........(`square`) (II)

∴ रेखा OD रेख AB की `square` रेखा है। (I) तथा (II) से

∴ रेखा AD ≅ रेख BD 

30 सेमी ऊँचाई वाले शंकुछेद के आकार वाली बाल्टी के वृत्ताकार भागों की त्रिज्या 14 सेमी तथा 7 सेमी है उस बाल्टी में कितने लीटर पानी भरा जा सकता है? ज्ञात कीजिए। (1 लीटर = 1000 घसेमी)

शंकुछेद के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या क्रमश: 14 सेमी तथा 6 सेमी तथा उसकी ऊँचाई 6 सेमी हो तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

(1) शंकुछेद का वक्रपृष्ठफल

(2) शंकुछेद का संपूर्ण पृष्ठफल

(3) शंकुछेद का घनफल

किसी शंकुछेद के वृत्ताकार आधार की परिधि क्रमश: 132 सेमी तथा 88 सेमी तथा ऊँचाई 24 सेमी है। तो उस शंकुछेद का वक्रपृष्ठफल ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए। `(pi = 22/7)`

परिधि₁ = 2πr₁ = 132

r₁ = `132/(2pi) = square` सेमी

परिधि₂ = 2πr₂ = 88

r₂ = `88/(2pi) = square` सेमी

शंकुछेद की तिरछी ऊँचाई = l

तथा l = `sqrt(h^2 + (r_1 - r_2)^2)`

∴ l = `sqrt(square^2 + square^2)`

l = `square` सेमी

शंकुछेद का वक्रपृष्ठफल = π(r₁ + r₂)l

= `pi xx square xx square`

= `square` वर्ग सेमी

शंकु छेद के वृत्ताकार भाग की त्रिज्याएँ क्रमश: 14 सेमी तथा 6 सेमी हैं तथा उसकी ऊँचाई 6 सेमी है, तो शंकु छेद का वक्रपृष्ठफल ज्ञात कीजिए।

(π = 3.14)

संलग्न आकृति में, जीवा EF || जीवा GH तो सिद्ध कीजिए कि, जीवा EG ≅ जीवा FH नीचे दी गई उपपत्ति में रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।

उपपत्ति : रेख GF खींचिए।

∠EFG = ∠FGH ........... `square` (I)

∠EFG = `square` (अंतर्लिखित कोण के प्रमेय से) (II)

∠FGH = `square` (अंतर्लिखित कोण के प्रमेय से) (III)

∴ m (चाप EG) = `square` [(I), (II) तथा (III) से]

जीवा EG ≅ जीवा FH .......... `(square)`

लघु द्वैत्रिज्य का क्षेत्रफल 3.85 वर्ग सेमी तथा उसके संगत केंद्रीय कोण का माप 36° हो तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। 

नीचे दिए गए बहुवैकल्पिक प्रश्न में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।

किसी चाप का माप 90° तथा त्रिज्या 7 सेमी हो तो द्वैत्रिज्य की परिमिति ज्ञात कीजिए। 

दी गई आकृति में, जीवा PQ तथा जीवा RS एक-दूसरे को बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि ∠STQ = 58° तथा ∠PSR = 24° हो, ही तो निम्न कृति पूर्ण करके सिद्ध करो:

∠STQ = `1/2` [m(चाप PR) + m(चाप SQ)]

कृति: ΔPTS में,

∠STQ = ∠STQ – `square`  ...(बहिष्कोण प्रमेय)

∠SPQ = 34°

m(चाप QS) = 2 × `square`° = 68°  ..........(`square`)

उसी प्रकार, m(चाप PR) = 2∠PSR = `square`

`1/2` [m(चाप PR) + m(चाप PR)] = `1/2` × `square` = 58°  ..........(1)

परंतु, ∠STQ = 58° .............. (2) (दिया है।)

∴ `1/2` [m(चाप PR) + m(चाप QS)] = ∠______  ...........[(1) तथा (2) से]