SSC (Hindi Medium) 10th Standard Board Exam [१० वीं कक्षा] - Maharashtra State Board Question Bank Solutions for Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - ज्यामिति]

ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR।
दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।

हल:

ΔPMQ में,

किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।

∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)

उसी प्रकार, ΔPMR में,

किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।

∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)

परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)

∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]

∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)

ΔABC में, किरण BD यह ∠ABC का कोण समद्विभाजक है। A - D - C, रेख DE || भुजा BC, A - E - B हो, तो सिद्ध कीजिए `("AB")/("BC") = ("AE")/("EB")`

उपपत्ति:

ΔABC में, किरण BD यह ∠B को समद्विभाजित करता है।

∴ `square/("BC") = ("AD")/("DC")`  ......(I) (`square`)

ΔABC में, DE || BC

∴ `(square)/("EB") = ("AD")/("DC")`   ....(II) (`square`)

∴ `("AB")/square = square/("EB")`   [(I) व (II) से]

समलंब चतुर्भुज ABCD में, भुजा AB || भुजा PQ || भुजा DC, यदि AP = 15, PD = 12, QC = 14 तो BQ का मान ज्ञात कीजिए।

संलग्न आकृति में AB || CD || FE तो x तथा AE का मान ज्ञात कीजिए।

आकृति में, रेख PA, रेख QB, रेख RC तथा रेख SD ये रेखा AD पर लंब हैं। AB = 60, BC = 70, CD = 80, PS = 280 तो PQ, QR, RS का मान ज्ञात कीजिए।

आकृति में ∠QPR = 90°, रेख PM ⊥ रेख QR और Q-M-R, PM = 10, QM = 8 तो QR का मान ज्ञात कीजिए। 

रेखाखंड AB यह वृत्त का व्यास है, जिसका केंद्र बिंदु P है। A(2, -3) और P(-2, 0) हो तो बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(22, 20) और (0, 16) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

P(0, 6) और Q(12, 20) इन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

A(-1, 1), B(5, -3) और C(3, 5) इन शीर्ष बिंदु वाले त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

बिंदु P, Q, R और S के कारण रेखाखंड AB पाँच सर्वांगसम भागों में विभाजित होता है। यदि A-P-Q – R-S-B और Q(12, 14) तथा S(4, 18) हो तो A, P, R, B के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

किसी लंब वृत्ताकार बेलन के आधार की त्रिज्या 5 सेमी तथा ऊँचाई क्रमश: 40 सेमी हो तो उसका संपूर्ण पृष्ठफल ज्ञात कीजिए |

नीचे दिए गए बहुवैकल्पिक प्रश्न में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।

5 सेमी त्रिज्या वाले किसी लंबवृत्ताकार बेलन का वक्रपृष्ठफल 440 सेमी² हो तो उस लंबवृत्ताकार बेलन की ऊँचाई कितनी होगी? 

नीचे दिए गए बहुवैकल्पिक प्रश्न में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।

किसी शंकु को पिघलाकर उसके आधार की त्रिज्या के बराबर त्रिज्या वाला लंबवृत्ताकार बेलन बनाया गया। यदि लंबवृत्ताकार बेलन की ऊँचाई 5 सेमी हो तो शंकु की ऊँचाई कितनी होगी?

किसी मैदान को समतल करने के लिए 120 सेमी व्यास तथा 84 सेमी लंबाई वाले रोलर के 200 फेरे लगते हैं, तो 10 रु प्रतिवर्ग मीटर की दर से मैदान समतल करने में कितना खर्च लगेगा?

केंद्र ‘O’ तथा 3 सेमी तथा 5 सेमी त्रिज्या लेकर दो एककेंद्रीय वृत्त खींचो। बड़े वृत्त पर स्थित बिंदु A से छोटे वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचो। स्पर्श रेखाखंड की लंबाई मापकर लिखो। पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करके स्पर्श रेखाखंड की लंबाई ज्ञात करो।

बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि बिन्दु P रेखाखंड AB का मध्य बिन्दु है, जिसमें A(-4, 2) व B(6, 2) हो।

हल:

माना (-4, 2) = (x₁, y₁) तथा (6, 2) = (x₂, y₂) और बिन्दु P के निर्देशांक (x, y) हैं।

मध्यबिन्दु के सूत्रनुसार,

`x = (x_1 + x_2)/2`

∴ `x = (square + 6)/2`

∴ `x = square/2`

∴ x = `square`

`y = (y_1 + y_2)/2`

∴ `y = (2 + square)/2`

∴ y = `4/2`

∴ y = `square`

 ∴ मध्यबिन्दु P के निर्देशांक `square` हैं।

'O' केंद्र तथा 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त बनाइए।वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखाखंड PA तथा PB इस प्रकार बनाइये कि ∠APB = 70°

आकृति में ∠ABC = 75°, ∠EDC = 75° तो इनमें दो त्रिभुज किस कसौटी के अनुसार समरूप हैं? उनकी समरूपता की एकैकी संगति लिखिए।

संलग्न आकृति में, दिए गए त्रिभुज क्या समरूप हैं? यदि हाँ तो किस कसौटी के अनुसार?