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वर्ग समीकरण x2 + x – 20 = 0 को गुणनखंड पद्धति से हल करो।
Concept: गुणनखंड विधि से समीकरण हल करना (Solution of a Quadratic Equation by Factorisation)
यदि वर्ग समीकरण kx2 – 10x + 3 = 0 का एक मूल 3 है, तो k का मान ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति:
kx2 – 10x + 3 = 0 इस वर्ग समीकरण का एक मूल 3 है।
x = `square` यह मान उपरोक्त समीकरण में रखने पर,
k`square`2 – 10 × `square` + 3 = 0
∴ `square` – 30 + 3 = 0
∴ 9k = `square`
∴ k = `square`
Concept: वर्ग समीकरण हल करने का सूत्र
वर्ग समीकरण x2 + 10x + 2 = 0 को सूत्र-विधि से हल करो।
Concept: वर्ग समीकरण हल करने का सूत्र
संख्या 460 को किसी प्राकृत संख्या से भाग देने पर भागफल, भाजक के 9 गुने से 2 अधिक तथा शेषफल 5 आता हो, तो भाजक तथा भागफल ज्ञात करो।
Concept: वर्गसमीकरण का उपयोजन (Application of Quadratic Equation)
वर्गसमीकरण के मूलों का स्वरूप निश्चित करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये:
x2 + 2x - 9 = 0
उकल:
x2 + 2x - 9 = 0 की तुलना ax2 + bx + c = 0 से करने पर
a = 1, b = 2 c = `square`
∴ b2 – 4ac = (2)2 – 4 × `square` × `square`
Δ = 4 + `square` = 40
∴ b2 – 4ac > 0
∴ वर्गसमीकरण के मूल वास्तविक व असमान हैं।
Concept: वर्गसमीकरण के मूलों का स्वरूप
सूत्र की पद्धति से वर्गसमीकरण हल कीजिये:
x2 + 10x + 2 = 0
Concept: वर्ग समीकरण हल करने का सूत्र
पाँच क्रमवार प्राकृत संख्याओं का जोड़ 1455 है, तो वह संख्याएँ ज्ञात कीजिये।
Concept: वर्गसमीकरण का उपयोजन (Application of Quadratic Equation)
`kx^2 - 7x + 12 = 0` इस वर्गसमीकरण का एक मूल 3 है, तो k = ______.
Concept: वर्ग समीकरण के हल
यदि 2 तथा 5 ये वर्गसमीकरण के मूल हों, तो वर्गसमीकरण बनाने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये:
कृति:
माना α = 2 तथा β = 5 ये वर्गसमीकरण के मूल हैं।
∴ प्राप्त होने वाला वर्गसमीकरण
x2 - (α + β)x + αβ = 0
∴ x2 - (2 + `square`)x + `square × 5 = 0`
∴ x2 - `square`x + `square = 0`
Concept: वर्गसमीकरण के मूल तथा गुणांकों मेंं संबंध
एक टंकी को दो चलों से पूरा भरने में 6 घंटे लगते हैं। छोटे नल को वह टंकी भरने में लगने वाला समय बड़े नल से लगने वाले समय से 5 घंटे अधिक लगते हैं, तो प्रत्येक नल को वह टंकी भरने के लिए कितना समय लगेगा ?
Concept: वर्गसमीकरण का उपयोजन (Application of Quadratic Equation)
निम्नलिखित वर्गसमीकरण सूत्र विधि से हल कीजिये:
3m2 − m − 10 = 0
Concept: वर्ग समीकरण हल करने का सूत्र
यदि अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद a तथा सामान्य अंतर d हो तो अंकगणितीय श्रृंखला लिखिए।
a = 10, d = 5
Concept: अंकगणितीय श्रृंखला (Arithmetic Progression)
निम्नलिखित प्रत्येक अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद तथा सामान्य अंतर ज्ञात कीजिए।
5, 1, −3, −7, ...
Concept: अंकगणितीय श्रृंखला (Arithmetic Progression)
किसी अंकगणितीय श्रृंखला का 9 वाँ पद शून्य हो, तो 29 वाँ पद 19 वें पद का दुगुना होता है, सिद्ध कीजिए।
Concept: अंकगणितीय शृंखला के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of First n Terms of an A. P.)
जिस अंकगणितीय श्रृंखला मेंं प्रथम पद −2 तथा सामान्य अंतर −2 हो ऐसे अंकगणितीय श्रृंखला के प्रथम 4 पद ______ हैं।
Concept: अनुक्रमणिका के पद (Terms in a Sequence)
किसी अंकगणितीय श्रृंखला का द्वितीय तथा तृतीय पद ज्ञात करो, जिसका प्रथम पद 6 तथा सामान्य अंतर -3 हो।
Concept: अंकगणितीय शृंखला का n वाँ पद (nth Term of an A. P.)
निम्नलिखित अंकगणितीय श्रृंखला का 9 वाँ पद॑ ज्ञात करने के लिए निम्न कृतिं को पूर्ण करो:
कृति:
दी गई अंकगणितीय श्रृंखला: 7, 13, 19, 25, ........
यहाँ, प्रथम पद a = 7; t19 = ?
tn = a + (`square`)d ........ (सूत्र)
∴ t19 = 7 + (19 – 1) `square`
∴ t19 = 7 + `square`
∴ t19 = `square`
Concept: अंकगणितीय शृंखला का n वाँ पद (nth Term of an A. P.)
प्रथम ‘n’ सम प्राकृत संख्याओं का योगफल ज्ञात करो।
Concept: अंकगणितीय शृंखला के प्रथम n पदों का योगफल (Sum of First n Terms of an A. P.)
किसी नाट्यगृह में कुर्सियों की कुल 27 कतारें हैं। पहली कतार में कुल 20 कुर्सियाँ हैं, दूसरी कतार में 22 कुर्सियाँ तथा तीसरी कतार में कुल 24 कुर्सियाँ हैं तथा आगे भी इस प्रकार हों, तो नाट्यगृह में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी?
Concept: अंकगणितीय शृंखला के उपयोजन (Application of A.P.)
किसी त्रिभुज के कोणों के माप अंकगणितीय श्रृंखला में हैं। सबसे छोटे कोण का माप सामान्य अंतर के 5 गुना है। उस त्रिभुज के सभी कोणों के माप ज्ञात करो। (त्रिभुज के कोणों के माप a, a + d, a + 2d लो।)
Concept: अंकगणितीय शृंखला के उपयोजन (Application of A.P.)
