Question

The maximum value of x^1/x, x > 0 is __________ .

Options

• `e^(1/e)`

• `(1/e)^e`

• 1

• none of these

Answer 1

\[e^\frac{1}{e}\]

\[\text { Given }:   f\left( x \right)   =    x^\frac{1}{x} \] 

\[\text { Taking  log  on  both  sides,   we  get }\] 

\[\log  f\left( x \right) = \frac{1}{x}\log  x\] 

\[\text { Differentiating  w . r . t .   x,   we  get }\] 

\[\frac{1}{f\left( x \right)}f'\left( x \right) = \frac{- 1}{x^2}\log  x + \frac{1}{x^2}\] 

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) = f\left( x \right)\frac{1}{x^2}\left( 1 - \log  x \right)\] 

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) =  x^\frac{1}{x} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2}\log  x \right)                                   .  .  . \left( 1 \right)\] 

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) =  x^\frac{1}{x} - 2 \left( 1 - \log  x \right)       \]

\[\text { For  a  local  maxima  or  a  local  minima,   we  must  have }\] 

\[f'\left( x \right) = 0\] 

\[ \Rightarrow  x^\frac{1}{x} - 2 \left( 1 - \log  x \right) = 0\] 

\[ \Rightarrow \log  x = 1\] 

\[ \Rightarrow x = e\]

\[\text { Now,} \] 

\[f''\left( x \right)   =  x^\frac{1}{x}  \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2}\log  x \right)^2  +  x^\frac{1}{x} \left( \frac{- 2}{x^3} + \frac{2}{x^3}\log  x - \frac{1}{x^3} \right) =  x^\frac{1}{x}  \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2}\log  x \right)^2  +  x^\frac{1}{x} \left( - \frac{3}{x^3} + \frac{2}{x^3}\log  x \right)\] 

\[\text { At  }x = e: \] 

\[f''\left( e \right)   =  e^\frac{1}{e}  \left( \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2}\log  e \right)^2  +  e^\frac{1}{e} \left( - \frac{3}{e^3} + \frac{2}{e^3}\log  e \right) =  -  e^\frac{1}{e} \left( \frac{1}{e^3} \right) < 0\] 

\[\text { So,   x = e  is  a  point  of  local  maxima }. \] 

\[ \therefore   \text { Maximum  value } = f\left( e \right)   =    e^\frac{1}{e} \]