Question

If x+y=8, then the maximum value of xy is ____________ .

Options

• 8

• 16

• 20

• 24

Answer 1

\[16\]

 

\[\text { Given }:   x + y = 8\] 

\[ \Rightarrow y = 8 - x.........................\left( 1 \right)\] 

\[\text { Let }  f\left( x \right) \text { be }  xy . \] 

\[ \Rightarrow   f\left( x \right) =   x\left( 8 - x \right).....................\left[ \text { From  eq } . \left( 1 \right) \right]\] 

\[ \Rightarrow f'\left( x \right) = 8 - 2x\] 

\[\text { For  a  local  maxima  or  a  local  minima,   we  must  have }  \] 

\[f'\left( x \right) = 0\] 

\[ \Rightarrow 8 - 2x = 0\] 

\[ \Rightarrow 8 = 2x\] 

\[ \Rightarrow x = 4\] 

\[ \Rightarrow y = 8 - 4 = 4..................\left[ \text { From  eq.} \left( 1 \right) \right]\] 

\[\text { Now,} \] 

\[f''\left( x \right) =  - 2\] 

\[ \Rightarrow f''\left( 4 \right) =  - 2 < 0\] 

\[\text { So,   x = 4  is  a  local  maxima }. \] 

\[\text { Hence,   the  local  maximumvalue  is  given  by }\] 

\[f\left( 4 \right) = 4 \times 4 = 16\]