Question

Solve : 8 x 2^2x + 4 x 2^{x + 1} = 1 + 2^x

Answer 1

8 x 2^2x + 4 x 2^{x + 1} = 1 + 2^x

⇒ 8 x `(2^x)^2` + 4 x 2^x x 2¹ = 1 + 2^x
⇒ 8 x `(2^x)^2` + 4 x 2^x x 2¹ - 1 - 2^x = 0
⇒ 8 x `(2^x)^2` + 2^x  x ( 8 - 1 ) - 1 = 0
⇒ 8 x `(2^x)^2` + 7( 2^x  ) - 1 = 0
⇒ 8y² + 7y - 1 = 0                   [ y = 2^x ]
⇒ 8y² + 8y - y - 1 = 0
⇒ 8y( y + 1 ) - 1( y + 1 ) = 0
⇒ ( 8y - 1 )( y + 1 ) = 0

⇒ 8y = 1  or  y = - 1

⇒ y = `1/8`  or  y = -1

⇒ 2^x = `1/8` or 2^x = - 1

⇒ 2^x = `1/2^3` or 2^x = - 1

⇒ 2^x = `2^-3` or 2^x = - 1
⇒ x = - 3
[ ∵ 2^x  = - 1 is not possible. ]