Question

समीकरण `(sqrt(3) - 1)costheta + (sqrt(3) + 1)sin theta` = 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

[संकेत: `sqrt(3) - 1` = r sinα, `sqrt(3) + 1` = r cosα रखिए, जिससे tanα = `tan(pi/4 - pi/6)` α = `pi/12` प्राप्त होता है।]

Answer 1

ज्ञात है कि,

`(sqrt(3) - 1)costheta + (sqrt(3) + 1)sin theta` = 2

`(sqrt(3) - 1)` = r sinα और `(sqrt(3) + 1)` = r cosα रखने पर

वर्ग लेकर जोडने पर,

`r^2 = 3 + 1 - 2sqrt3 + 3 + 1 + 2sqrt3`

⇒ `r^2 = 8`

⇒ `r^2 = ±2sqrt2`

दी गई अभिव्यक्ती इस प्रकार लिखें

rsinα cosθ + rcosα sinθ = 2

⇒ r(sinα cosθ + cosα sinθ) = 2

⇒ `2sqrt2sin(alpha + theta) = 2`

⇒ `sin(alpha + theta) = 1/sqrt2`

अतः,

`sin(alpha + theta) = sin  pi/4`

`(alpha + theta) = npi(-1)^2pi/4` ............(1)

`(sqrt3 - 1)  = rsin alpha` को `(sqrt3 + 1) = rcosalpha` से विभाजित करने पर,

`(rsinalpha)/(rcosalpha) = (sqrt3 - 1)/(sqrt3 + 1)`

⇒ `tanalpha = (tan  pi/3 - tan  pi/4)/(1 + tan  pi/3 xx tan  pi/4)`

⇒ `tanalpha = tan(pi/3 - pi/4)`

⇒ `tanalpha = tan  pi/12`

अतः, `alpha = pi/12`

`alpha = pi/12` को समीकरण (1) में रखने पर,

`(pi/12 + theta) = npi(-1)^2  pi/4`

⇒ `theta = npi(-1)^2pi/4 - pi/12`

दी गई अभिव्यक्ती का सामान्य हल `theta = npi(-1)^2pi/4 - pi/12, n ∈ Z` है।