Question

\[\int \sin^5 x \text{ dx }\]

Answer 1

∫ sin⁵ x dx
= ​∫ sin⁴ x . sin x dx
= ∫ (1 – cos² x)² sin x dx

= ∫ (1 – cos⁴ x – 2 cos² x) sin x dx
Let cos x = t
⇒ – sin x dx = dt

⇒ sin x dx = – dt
Now, ∫ (1 – cos⁴ x – 2 cos² x) sin x dx
=–​∫ (1 + t⁴ – 2t²) dt

\[= - \left[ t + \frac{t^5}{5} - \frac{2 t^3}{3} \right] + C\]
\[ = - t - \frac{t^5}{5} + \frac{2 t^3}{3} + C\]
\[ = - \cos x + \frac{2}{3} \cos^3 x - \frac{\cos^5 x}{5} + C\]