Advertisements
Advertisements
Question
सिद्ध कराः समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णांच्या वर्गांची बेरीज ही त्या चौकोनाच्या बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेबरोबर असते.
Advertisements
Solution
पक्ष: `square`ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे. कर्ण AC व BD परस्परांना M बिंदूत छेदतात.
साध्य: AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
सिद्धता:
`square`ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे.
∴ AB = CD आणि BC = AD .....(i) [समांतरभुज चौकोनाच्या समोरासमोरील बाजू]
AM = `1/2`AC आणि BM = `1/2`BD ....(ii) [समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.]
∴ M हा कर्ण AC आणि BD चा मध्यबिंदू आहे. ...(iii)
ΔABC मध्ये,
रेख BM ही मध्यगा आहे. ......[(iii) वरून]
AB2 + BC2 = 2AM2 + 2BM2 .....(iv) [अपोलोनिअसचे प्रमेय]
∴ AB2 + BC2 = `2(1/2"AC")^2 + 2(1/2"BD")^2` ....[(ii) आणि (iv) वरून]
∴ AB2 + BC2 = `2 xx ("BD"^2)/4 + 2 xx "AC"^2/4`
∴ AB2 + BC2 = `("BD"^2)/2 + "AC"^2/2`
∴ 2AB2 + 2BC2 = BD2 + AC2 ....[दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणून]
∴ AB2 + AB2 +BC2 + BC2 = BD2 + AC2
∴ AB2 + CD2 +BC2 + AD2 = BD2 + AC2 ....[(i) वरून]
म्हणजेच AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
ΔPQR मध्ये, बिंदू S हा बाजू QR चा मध्यबिंदू आहे, जर PQ = 11, PR = 17, PS = 13 असेल तर QR ची लांबी काढा.
ΔABC मध्ये, AB = 10, AC = 7, BC = 9 तर बिंदू C मधून बाजू AB वर काढलेल्या मध्यगेची लांबी किती?
आकृती मध्ये, ΔABC च्या बाजू BC चा बिंदू M हा मध्यबिंदू आहे. जर AB2 + AC2 = 290 सेमी, AM = 8 सेमी, तर BC काढा.
ΔABC मध्ये रेख AP ही मध्यगा आहे. जर BC = 18, AB2 + AC2 = 260 तर AP काढा.
आकृती मध्ये, M-Q-R-N. दिलेल्या माहितीवरून सिद्ध कराः PM = PN = `sqrt(3) xx "a"`
एका समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या दोन बाजूंच्या वर्गांची बेरीज 130 चौसेमी असून त्याच्या एका कर्णाची लांबी 14 सेमी आहे तर त्याच्या दुसऱ्या कर्णाची लांबी किती?
समद्विभुज त्रिकोणामध्ये एकरूप बाजूंची लांबी 13 सेमी असून त्याचा पाया 10 सेमी आहे, तर त्या त्रिकोणाच्या मध्यगासंपातापासून पायाच्या समोरील शिरोबिंदूपर्यंतचे अंतर काढा.
रेख PM ही ΔPQR ची मध्यगा आहे. जर PQ = 40, PR = 42 आणि PM = 29, तर QR काढा.
रेख AM ही ΔABC ची मध्यगा आहे. जर AB = 22, AC = 34, BC = 24, तर बाजू AM ची लांबी काढा.
ΔPQR मध्ये, रेख PM मध्यगा आहे. PM = 9 आणि PQ2 + PR2 = 290, तर QR काढा.
