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Question
सिद्ध कीजिए कि `14 - 2sqrt3` एक अपरिमेय संख्या है। दिया गया है कि `sqrt3` एक अपरिमेय संख्या है।
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Solution
आइए मान लें कि `14 - 2sqrt(3)` एक परिमेय संख्या है।
यदि यह परिमेय है, तो इसे x के रूप में निरूपित किया जा सकता है, जहाँ x परिमेय है।
`14 - 2sqrt(3) = x`
अपरिमेय पद को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:
`14 - x = 2sqrt(3)`
`(14 - x)/2 = sqrt(3)`
अब, दोनों पक्षों का मूल्यांकन करें:
बाईं ओर (L.H.S.):
चूँकि 14 और 2 परिमेय पूर्णांक हैं और हमने यह मान लिया है कि x एक परिमेय संख्या है, इसलिए परिमेय संख्याओं का अंतर और विभाजन भी परिमेय होता है।
अतः, `(14 - x)/2` एक परिमेय संख्या है।
दाईं ओर (R.H.S.):
हमें दिया गया है कि `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।
इससे एक विरोधाभास उत्पन्न होता है: परिमेय = अपरिमेय।
हमारी यह प्रारंभिक धारणा कि `14 - 2sqrt(3)` एक परिमेय संख्या है, गलत है।
इसलिए, `14 - 2sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, `14 - 2sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या सिद्ध होता है।
