Question

ऊपर दी गई आकृति में, चेनाब नदी के ऊपर बने एक रेलवे पुल की मेहराब (arch) को दिखाया गया है। यह एक परवलयाकार मेहराब है जो दो पहाड़ियों को बिंदु P तथा Q पर जोड़ती है। यदि वक्र परवलय को निरूपित करने वाला बहुपद p(x) = − 0.00252 − 0.0252 + 136 है।

ऊपरी दी गयी आकृति तथा सूचना के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. बिंदु A के निर्देशांक लिखिए।
2. मेहराब का विस्तार (span) ज्ञात कीजिए।
3. 1. दी गई आकृति की सहायता से बहुपद p(x) के शून्यक लिखिए। इन शून्यकों तथा बहुपदों के गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
      अथवा
   2. x = 100 तथा x = −100 पर बहुपद p(x) का मान ज्ञात कीजिए। क्या यह दोनों मान समान हैं?

Answer 1

(i) बिंदु A, y-अक्ष पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि x-निर्देशांक 0 है।

p(x) = –0.0025x² – 0.025x + 136

Put x = 0

p(0) = 0 – 0 + 136 = 136

इसका मतलब है कि A के निर्देशांक (0, 136) हैं।

(ii) P(228.5, 0) और Q(–238.5, 0)

मेहराब का विस्तार (Span) = X_P – X_Q

= 228.5 – (–238.5)

= 228.5 + 238.5

= 467 इकाइयां

(iii) (a) बहुपद के शून्यक x₁ = 228.5 और x₂ = –238.5 हैं।

शून्यकों का योग = 228.5 + (–238.5) = –10

सत्यापन: अब दिया गया बहुपद p(x) = –0.0025x² – 0.025x + 136 है।

शून्यकों का योग = `(-b)/a`

= `(-(-0.025))/(-0.0025)`

= `(0.025)/(-0.0025)`

= –10

अतः सिद्ध हुआ।

अथवा

(iii) (b) p(x) = –0.0025x² – 0.025x + 136

x = 100 रखिए।

p(100) = –0.0025(100)² – 0.025(100) + 136

= `-25/10000 xx 10000 - 25/1000 xx 100 + 136`

= –25 – 2.5 + 136

= 108.5

x = –100 रखिए।

p(–100) = –0.0025(–100)² – 0.025(–100) + 136

= –0.0025(10000) + 2.5 + 136

= –25 + 2.5 + 136

= 113.5

नहीं, p(100) और p(–100) समान नहीं हैं।