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Question
किसी मेले में, एक पेटी में 1000 कुछ कार्ड रख दिये जाते हैं। जिन पर 1 से 1000 तक संख्याएँ इस प्रकार अंकित हैं कि एक कार्ड पर एक ही संख्या अंकित है। प्रत्येक खिलाड़ी इसमें से यादृच्छिक रूप से एक कार्ड निकालता है तथा कार्ड को प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है। यदि चुने हुए कार्ड पर 500 से बड़ा एक पूर्ण वर्ग आ जाये, तो उस खिलाड़ी को एक पुरस्कार दिया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरे खिलाड़ी को पुरस्कार प्राप्त होगा, यदि पहले को पुरस्कार प्राप्त जो चुका है?
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Solution
यह देखते हुए कि, एक भ्रूण पर, एक कार्ड पर 1 से 1000 एक नंबर की संख्या वाले कार्ड, एक बॉक्स में डाल दिए जाते हैं।
प्रत्येक खिलाड़ी यादृच्छिक पर एक कार्ड का चयन करता है और उस कार्ड को प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है, परिणामों की कुल संख्या n(S) = 1000 है।
यदि चयनित कार्ड में 500 से अधिक एक आदर्श वर्ग है, तो खिलाड़ी एक पुरस्कार जीतता है।
सबसे पहले, जीता है यानी, एक कार्ड पहले से ही चुना गया है, 500 से अधिक, एक आदर्श वर्ग है।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।
तो, 1000 कार्डों में से एक कार्ड हटा दिया जाता है।
तो, शेष कार्डों की संख्या 999 है।
∴ शेष परिणामों की कुल संख्या, n(S') = 999
मान लीजिए E2 = इवेंट दूसरा खिलाड़ी एक पुरस्कार जीतता है, अगर पहला जीता है।
= शेष कार्ड में 500 से अधिक एक आदर्श वर्ग है।
∴ n(E2) = 9 – 1 = 8
तो, अभीष्ट प्रायिकता = `(n(E_2))/(n(S^')) = 8/999`
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एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद लाल हो?
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। लाल रंग का राजा बादशाह मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
| घटना दोनों पासों की संख्याओं का योग |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| प्रायिकता | `1/36` | `5/36` | `1/36` |
(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः, प्रत्येक की प्रायिकता `1/11` है।' क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
एक पेटी में 12 गेंदें हैं, जिनमें से x गेंदें काली हैं। यदि इनमें से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह काली है। यदि इस पेटी में 6 काली गेंदें और डाल दी जायें, तो काली गेंद निकालने की प्रायिकता पहली प्रायिकता की दुगनी हो जाती है। x का मान ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित प्रयोग में से वाक्य प्रयोग के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
किसी स्कूल में पाँच सदन A, B, C, D और E हैं। किसी कक्षा में 23 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 4 सदन A से, 8 सदन B से, 5 सदन C से, 2 सदन D से तथा शेष सदन E से हैं। इनमें से एक विद्यार्थी को कक्षा का मॉनीटर बनाने के लिए चुना जाता है। चुने गये इस विद्यार्थी के सदनों A, B और C से न होने की प्रायिकता ______ है।
दो पासों पर क्रमशः 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 1, 1, 2, 2, 3, 3 संख्याएँ लिखी हुई हैं। इनको एक साथ फेंका जाता है तथा इन पर आई संख्याओं का योग लिख लिया जाता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अलग-अलग प्रत्येक योग 2 से 9 तक हो।
52 ताशों की एक गड्डी में सभी गुलाम, बेगम और बादशाह हटा दिये जाते हैं। शेष कार्डों को अच्छी प्रकार से फेट लिया जाता है। इसके बाद, इसमें से एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इक्के को मान 1 देकर, अन्य कार्डों को भी इसी प्रकार के मान दिये जाते हैं। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकले गये कार्ड का मान है:
7 से कम
एक पासे के छ: फलकों पर 0, 1, 1, 1, 6, 6 अंकित हैं। ऐसे दो पासों को एक साथ फेंका जाता है तथा इन पर आई संख्याओं का योग लिख लिया जाता है। कितने विभिन्न परिणाम संभव हैं?
