Question

If a cos θ – b sin θ = c, then prove that (a sin θ + b cos θ) = `±  sqrt(a^2 + b^2 - c^2)`

Answer 1

Given a cos θ – b sin θ = c

Squaring on both sides

(a cos θ – b sin θ)² = c²

a² cos² θ + b² sin² θ – 2 ab cos θ sin θ = c²

a² (1 – sin² θ) + b² (1 – cos² θ) – 2 ab cos θ sin θ = c²

a² – a² sin² θ + b² – b² cos² θ – 2 ab cos θ sin θ = c² 

– a² sin² θ – b²cos² θ – 2 ab cos θ sin θ  = – a² – b² + c²

a² sin² θ + b² cos² θ + 2 ab cos θ sin θ = a² + b² – c²

(a sin θ + b cos θ)² – a² + b² – c² 

a sin θ + b cos θ = `±  sqrt(a^2 + b^2 - c^2)`

Hence, it is proved.