Question

एक वृत्त की त्रिज्या `sqrt2` cm है। 2 cm लंबाई वाली जीवा द्वारा यह वृत्त दो वृत्त-खंडों में विभाजित किया जाता है। सिद्ध कीजिए कि इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्त-खंड के किसी बिंदु पर बना कोण 45° है।

Answer 1

O केंद्र वाला एक वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि AB = 2 सेमी वृत्त की एक जीवा है। एक जीवा AB को रेखा OM द्वारा दो बराबर खंडों में विभाजित किया जाता है।

सिद्ध करना है - ∠APB = 45°

यहाँ, AN = NB = 1 सेमी

तथा OB = `sqrt(2)` सेमी

ΔONB में, OB² = ON² + NB²  ...[पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग कीजिए]

⇒ `(sqrt(2))^2 = ON^2 + (1)^2`

⇒ ON² = 2 – 1 = 1 

⇒ ON = 1 सेमी   ...[सकारात्मक वर्गमूल लेना, क्योंकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है।]

साथ ही, ∠ONB = 90°  ...[ON जीवा AB का लंब समद्विभाजक है।]

∴ ∠NOB = ∠NBO = 45°

इसी प्रकार, ∠AON = 45°

अब, ∠AOB = ∠AON + ∠NOB

= 45° + 45°

= 90° 

हम जानते हैं कि, जीवा वृत्त पर एक कोण अंतरित करती है जो केंद्र में अंतरित कोण का आधा होता है।

∴ `∠APB = 1/2 ∠AOB`

= `90^circ/2`

= 45°

अतः सिद्ध हुआ।