Question

एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ∼ ∆PQR है।

Answer 1

दिया गया,

`("AB")/("PQ") = ("AC")/("PR") = ("AD")/("PM")`

आइए AD और PM को क्रमशः बिंदु E और L तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि AD = DE और PM = ML. फिर, B को E से, C को E से, Q को L से और R को L से मिलाएँ

हम जानते हैं कि माध्यिकाएँ विपरीत भुजाओं को विभाजित करती हैं।

BD = DC और QM = MR

AD = DE                  ...(निर्माण द्वारा)

PM = ML                 ...(निर्माण द्वारा)

चतुर्भुज ABEC में, विकर्ण AE और BC एक दूसरे को बिंदु D पर समद्विभाजित करते हैं।

अत: चतुर्भुज ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।

∴ AC = BE and AB = EC     ...(समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि चतुर्भुज PQLR एक समांतर चतुर्भुज है और PR = QL, PQ = LR

यह दिया गया है।

`=>("AB")/("PQ") = ("AC")/("PR") = ("AD")/("PM")`

`=>("AB")/("PQ")=("BE")/("QL")= (2"AD")/(2"PM")`

`=>("AB")/("PQ") = ("BE")/("QL") = ("AE")/("PL")`

∴ ΔABE ∼ ΔPQL       ...(SSS समरूपता कसौटी)

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।

∴ ∠BAE = ∠QPL        ...(1)

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि ΔAEC ∼ ΔPLR और

∠CAE = ∠RPL             ...(2)

समीकरण (1) और (2) जोड़ने पर,

∠BAE + ∠CAE = ∠QPL + ∠RPL

⇒ ∠CAB = ∠RPQ             ...(3)

ΔABC और ΔPQR में,

`("AB")/("PQ") = ("AC")/("PR")`

∠CAB = ∠RPQ

∴ ΔABC ∼ ΔPQR        ...(SAS समरूपता की कसौटी)