Question

एक संग्रहालय के 14 m त्रिज्या वाले एक गोलाकार कमरे में कुछ मूर्तियाँ रखी गयी हैं। मूर्तियों को 7 m त्रिज्या वाले एक संकेन्द्रीय वृत्त के अंदर के क्षेत्र में रखा है। ऐसी ही एक मूर्ति त्रिज्यखंड OAB के अन्दर स्थित है। इस मूर्ति को रेखाखंड OA, AP, PB, BO के द्वारा बाड़ बनाकर सुरक्षित किया गया है, यहाँ बिन्दु P बाहरी वृत्त पर स्थित है।

उपरोक्त सूचना के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. ∠AOP की माप ज्ञात कीजिए।  (1)
2. सिद्ध कीजिए कि ΔOAP ≡ ΔOBP है।  (1)
3. 1. मूर्ति की सुरक्षा हेतु लगायी गयी बाड़ की लम्बाई बताइए। (`sqrt3` = 1.73 लीजिये)  (2)
      अथवा
   2. चतुर्भुज QAPB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (`sqrt3` = 1.73 लीजिये)

Answer 1

दिया गया:

बाहरी वृत्त का त्रिज्या (R) = 14 मीटर

आंतरिक वृत्त का त्रिज्या (r) = 7 मीटर

O दोनों वृत्तों का केंद्र है।

A और B आंतरिक वृत्त पर बिंदु हैं, अतः OA = OB = 7 मीटर।

P बाहरी वृत्त पर बिंदु है, अतः OP = 14 मीटर।

(i) मान लीजिए ∠AOP = θ

cos θ = `B/H = (AO)/(OP)`

cos θ = `7/14`

cos θ = `1/2`

cos θ = cos 60°

θ = 60°

(ii) ΔOAP और ΔOBP में

OA = OB   ...(त्रिज्या)

OP = OP   ...(उभयनिष्ठ)

∠OAP = ∠OBP = 90°   ...(स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या)

RHS सर्वांगसमता से

ΔOAP ≅ ΔOBP

(iii) (a) बाड़ की लंबाई = OA + OB + BP + AP

= 7 + 7 + BP + AP

अब, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

(PO)² = (PA)² + (AO)²

(14)² = (PA)² + (7)²

196 – 49 = AP²

`sqrt147` = AP

AP = `7sqrt3`

= 7 × 1.73

= 12.11 m

अथवा

(iii) (b) चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल = `2 xx 1/2 xx OA xx AP`

= `7 xx 7sqrt3`

= `49sqrt3`

= 49 × 1.73

= 84.77 m²