Question

एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा CD के मध्यबिंदु Q से होकर जाती हुई रेखा AR खींची गई है जो BD को बिंदु P तथा बढ़ाई गई भुजा BC को बिंदु R पर काटती है। सिद्ध कीजिए।

1. AQ = QR
2. AP = 2PQ
3. PR = 2AP

Answer 1

दिया गया: एक समांतर चतुर्भुज ABCD और Q, CD का मध्य-बिंदु है।

i. ΔAQD और ΔRQC में

∠DQA = ∠CQR ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∠DAQ = ∠CRQ ...[AD || BC और एकांतर अंतः कोण]

⇒ ΔAQD ∼ ΔRQC ...[AA समरूपता]

⇒ `(AQ)/(QR) = (DQ)/(CQ)`

लेकिन CQ = DQ

⇒ AQ = QR   ...(1)

अतः, सिद्ध हुआ।

ii. In ΔAPB और ΔQPD

∠APB = ∠QPD ...[शीर्षाभिमुख कोण]

∠PQD = ∠PAB ...[CD || AB और एकांतर अंतः कोण]

⇒ ΔAPB ∼ ΔQPD

⇒ `(AP)/(PQ) = (AB)/(QD)`

लेकिन AB = CD = 2QD

⇒ `(AP)/(PQ) = (2QD)/(QD) = 2/1`

⇒ AP = 2PQ   ...(2)

अतः, सिद्ध हुआ।

iii. चूंकि, PR = PQ + QR

PQ + AQ   ...(1 से)

PQ + AP + PQ = 2PQ + AP 

= AP + AP   ...(2 से)

= 2AP

अतः, सिद्ध हुआ।