Question

ΔABC की भुजा BC का मध्यबिंदु D है। BF तथा CE का प्रतिच्छेद बिंदु O. AD पर स्थित है। AD को बिंदु G तक इस प्रकार बढ़ाया गया कि OD = DG है। सिद्ध कीजिए।

1. OBGC एक समांतर चतुर्भुज है।
2. EF || BC है।
3. ΔАEF ~ ΔABС

Answer 1

दिया गया:

ΔABC में, D, BC का मध्यबिंदु है। AD पर O एक ऐसा बिंदु है कि OD = DG है। CE और BF O पर प्रतिच्छेद करते हैं।

i. यह सिद्ध करने के लिए कि OBGC एक समांतर चतुर्भुज है:

चतुर्भुज OBGC में, विकर्ण BC और OG हैं।

D, BC का मध्यबिंदु है ...(दिया गया है)

चूँकि विकर्ण BC और OG एक-दूसरे को D पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए OBGC एक समांतर चतुर्भुज है।

ii. EF || BC सिद्ध करने के लिए:

ΔABG में, OF को B तक और OE को C तक बढ़ाया गया है।

GC || OB and BG || OC

ΔABG में, OF || BG (क्योंकि BF, BG रेखा का एक भाग है और O, BF पर स्थित है)

ΔABG में मूल समानुपात प्रमेय द्वारा:

`(AF)/(FB) = (AO)/(OG)`

ΔACG में, OE || GC (क्योंकि CE, CG रेखा का एक भाग है और O, CE पर स्थित है)

ΔACG में मूल समानुपात प्रमेय से:

`(AE)/(EC) = (AO)/(OG)`

दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

`(AF)/(FB) = (AE)/(EC)`

ΔABC में, मूल समानुपात प्रमेय के विलोम के अनुसार, चूँकि भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हैं:

EF || BC

iii. ΔAEF ∼ ΔABC सिद्ध करने के लिए:

ΔAEF और ΔABC में:

∠A = ∠A ...(सामान्य कोण)

∠AEF = ∠ABC ...(संगत कोण, क्योंकि EF || BC)

∠AFE = ∠ACB ...(संगत कोण, क्योंकि EF || BC)

AA समरूपता कसौटी द्वारा:

ΔAEF ∼ ΔABC