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Question
दो संकेन्द्री गोलीय चालकों जिनको उपयुक्त विद्युतरोधी आलम्बों से उनकी स्थिति में रोका गया है, से मिलकर एक गोलीय संधारित्र बना है। दर्शाइए कि गोलीय संधारित्र की धारिता C इस प्रकार व्यक्त की जाती है:
C = `(4piepsilon_0"r"_1"r"_2)/("r"_1 - "r"_2)`
यहाँ r1 और r2 क्रमशः बाहरी तथा भीतरी गोलों की त्रिज्याएँ है।
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Solution
गोलीय अथवा गोलाकार संधारित्र की धारिता (Capacitance of Spherical Capacitor) का व्यंजक-माना गोलीय संधारित्र धातु के दो समकेन्द्रीय खोखले गोलों A व B का बना है, जो एक-दूसरे को कहीं भी स्पर्श नहीं करते। जब गोले A को-q आवेश दिया जाता है तो प्रेरण द्वारा गोले B पर +q आवेश उत्पन्न हो जाता है। चूंकि गोले B का बाहरी तल पृथ्वी से जुड़ा है; अतः गोले B के बाहरी तल पर उत्पन्न -q आवेश पृथ्वी से आने वाले इलेक्ट्रॉनों से निरावेशित हो जाता है। इस प्रकार गोले B के आन्तरिक पृष्ठ पर +q आवेश रह जाता है। माना गोले A की त्रिज्या r2 तथा गोले B की त्रिज्या b है।
गोले A पर - q आवेश के कारण विभव
`"V"_1 = - 1/(4 pi epsilon_0) * "q"/"r"_2`
चूँकि गोले के भीतर प्रत्येक बिन्दु पर वही विभव होता है जो कि उसके पृष्ठ पर होता है।
अतः गोले B के अन्दर, + q आवेश के कारण विभव
`"V"_2 = 1/(4 pi epsilon_0) * "q"/"r"_1`
चूँकि विभव आदिश राशि है; अतः गोले A पर परिणामी विभव
V = `"V"_1 + "V"_2`
`= 1/(4 pi epsilon_0) * "q"/"r"_1 - 1/(4 pi epsilon_0) * "q"/"r"_2`
`= "q"/(4 pi epsilon_0) (1/"r"_1 - 1/"r"_2)`
`= "q"/(4 pi epsilon_0) (("r"_2 - "r"_1)/("r"_1 "r"_2))`
गोला B पृथ्वी से जुड़ा होने के कारण इस पर विभव शून्य है। अतः गोले A व B के बीच विभवान्त्र
V = `0 - "q"/(4 pi epsilon_0) (("r"_2 - "r"_1)/("r"_1"r"_2)) = "q"/(4 pi epsilon_0) (("r"_1 - "r"_2)/("r"_1"r"_2))`
अथवा `"q"/"V" = 4 pi epsilon_0 (("r"_1 "r"_2)/("r"_1 - "r"_2))`
संधारित की धारिता के सूत्र C = `"q"/"V"` से, C = `4pi epsilon_0 (("r"_1"r"_2)/("r"_1 - "r"_2))`
अतः गोलीय संधारित्र की धारिता
C = `(4 pi epsilon_0 "r"_1"r"_2)/(("r"_1 - "r"_2))`
यदि गोलों के बीच का स्थान K परावैद्युतांक वाले माध्यम द्वारा भरा है तो ε0 के स्थान पर ε0K रखने पर अभीष्ट धारिता C = `(4 pi epsilon_0 "K" "r"_1"r"_2)/("r"_1 - "r"_2)` होगी।
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