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Question
cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` है, जहाँ a और b ऐसी दो भिन्न संख्याएँ हैं कि ab > 0 है।
Options
सत्य
असत्य
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Solution
यह विधान असत्य है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया है: a ≠ b और ab > 0
(क्योंकि गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य (AM) उसी सूची के ज्यामितीय माध्य (GM) से अधिक या उसके बराबर है)
⇒ AM > GM
यदि a और b ऐसी संख्याएँ हों, तब
AM = `(a + b)/2` और Gm = `sqrt(ab)`
यह मानकर कि cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` सत्य कथन है।
इसी प्रकार, a2 और b2 का AM और GM होगा,
AM = `(a^2 + b^2)/2` और GM = `sqrt(a^2 * b^2)`
तो, `(a^2 + b^2)/2 > sqrt(a^2 * b^2)` ...(AM और GM संपत्ति द्वारा जैसा कि उत्तर में पहले बताया गया है)
⇒ `(a^2 + b^2)/2 > ab`
⇒ `(a^2 + b^2)/(2ab) > 1`
⇒ cos θ > 1 ...(हमारी धारणा से)
लेकिन यह संभव नहीं है, –1 ≤ cos θ ≤ 1
इस प्रकार, हमारी धारणा गलत है और `cos theta ≠ (a^2 + b^2)/(2ab)`
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