Advertisements
Advertisements
प्रश्न
cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` है, जहाँ a और b ऐसी दो भिन्न संख्याएँ हैं कि ab > 0 है।
विकल्प
सत्य
असत्य
Advertisements
उत्तर
यह विधान असत्य है।
स्पष्टीकरण:
दिया गया है: a ≠ b और ab > 0
(क्योंकि गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य (AM) उसी सूची के ज्यामितीय माध्य (GM) से अधिक या उसके बराबर है)
⇒ AM > GM
यदि a और b ऐसी संख्याएँ हों, तब
AM = `(a + b)/2` और Gm = `sqrt(ab)`
यह मानकर कि cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` सत्य कथन है।
इसी प्रकार, a2 और b2 का AM और GM होगा,
AM = `(a^2 + b^2)/2` और GM = `sqrt(a^2 * b^2)`
तो, `(a^2 + b^2)/2 > sqrt(a^2 * b^2)` ...(AM और GM संपत्ति द्वारा जैसा कि उत्तर में पहले बताया गया है)
⇒ `(a^2 + b^2)/2 > ab`
⇒ `(a^2 + b^2)/(2ab) > 1`
⇒ cos θ > 1 ...(हमारी धारणा से)
लेकिन यह संभव नहीं है, –1 ≤ cos θ ≤ 1
इस प्रकार, हमारी धारणा गलत है और `cos theta ≠ (a^2 + b^2)/(2ab)`
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
(secA + tanA) (1 − sinA) बराबर है:
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ को सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है, न्यून कोण हैं:
`(tantheta)/(1-cottheta) + (cottheta)/(1-tantheta) = 1+secthetacosec theta`
[संकेत: व्यंजक को sin θ और cosθ के पदों में लिखिए]
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ को सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है, न्यून कोण हैं:
सर्वसमिका cosec2 A = 1 + cot2 A को लागू करके
`(cos A-sinA+1)/(cosA+sinA-1)=cosecA+cotA`
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ को सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण जिनके लिए व्यंजक परिभाषित किया गया है, न्यून कोण हैं:
`(sin theta-2sin^3theta)/(2cos^3theta -costheta) = tan theta`
(tan θ + 2)(2 tan θ + 1) = 5 tan θ + sec2θ है।
2sinθ का मान `a + 1/a` हो सकता है, जहाँ a एक धनात्मक संख्या है और a ≠ 1 है।
यदि `sqrt(3)` tan θ = 1 है, तो sin2θ – cos2θ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि cosec θ + cot θ = p है, तो सिद्ध कीजिए कि cos θ = `(p^2 - 1)/(p^2 + 1)` है।
यदि tan θ + sec θ = l है, तो सिद्ध कीजिए कि sec θ = `(l^2 + 1)/(2l)` है।
यदि sin θ + cos θ = p और sec θ + cosec θ = q है, तो सिद्ध कीजिए कि q(p2 – 1) = 2p है।
