Question

cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` है, जहाँ a और b ऐसी दो भिन्न संख्याएँ हैं कि ab > 0 है।

विकल्प

• सत्य

• असत्य

Answer 1

यह विधान असत्य है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है: a ≠ b और ab > 0

(क्योंकि गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य (AM) उसी सूची के ज्यामितीय माध्य (GM) से अधिक या उसके बराबर है)

⇒ AM > GM

यदि a और b ऐसी संख्याएँ हों, तब

AM = `(a + b)/2` और Gm = `sqrt(ab)`

यह मानकर कि cos θ = `(a^2 + b^2)/(2ab)` सत्य कथन है।

इसी प्रकार, a² और b² का AM और GM होगा,

AM = `(a^2 + b^2)/2` और GM = `sqrt(a^2 * b^2)`

तो, `(a^2 + b^2)/2 > sqrt(a^2 * b^2)`   ...(AM और GM संपत्ति द्वारा जैसा कि उत्तर में पहले बताया गया है)

⇒ `(a^2 + b^2)/2 > ab`

⇒ `(a^2 + b^2)/(2ab) > 1`

⇒ cos θ > 1  ...(हमारी धारणा से)

लेकिन यह संभव नहीं है, –1 ≤ cos θ ≤ 1

इस प्रकार, हमारी धारणा गलत है और `cos theta ≠ (a^2 + b^2)/(2ab)`