Question

चित्र में दिए गए दो आरेख दो वर्तुल गतियों के तद्नुरूपी हैं। प्रत्येक आरेख पर वृत्त की त्रिज्या परिक्रमण-काल, आरंभिक स्थिति और परिक्रमण की दिशा दर्शाई गई है। प्रत्येक प्रकरण में, परिक्रमण करते कण के त्रिज्य-सदिश के x-अक्ष पर प्रक्षेप की तदनुरूपी सरल आवर्त गति ज्ञात कीजिए।

Answer 1

(a) माना वृत्त पर गति करता हुआ कण किसी समय पर P से स्थिति A में पहुँच जाता है।

माना ∠POA = θ
AB, बिंदु A से x-अक्ष पर लंब है।

तब ∠ BAO = θ

आवर्तकाल T = 2s

∴ कोणीय वेग ω `= (2pi)/"T" = (2pi)/2 = pi"rad""s"^-1`

∴ `theta = ω"t" = pi"t"`

ΔOAB में,   `"sin"theta = "OB"/"OA" = (- x)/3`             ...[∵ मूलबिंदु की बाईं ओर x, - ve है।]

∴ x = -3 sin θ या  x = -3 sin πt   यहाँ x, cm में है।

यही सरल आवर्त गति का अभीष्ट समीकरण है।

(b)

∵ आवर्तकाल T = 4s

∴ कोणीय वेग ω = `(2pi)/"T" = (2pi)/(4"s") = pi/2` rad s^-1

माना वर्तुल गति करता हुआ कण t समय में बिंदु P से चलकर A तक पहुँच जाता है।

AB, बिंदु A से x - अक्ष पर लंब है।

माना, ∠BOA = θ तब `theta = ω"t" = (pi"t")/2`

ΔOAB में, `"cos"theta = "OB"/"OA" = - x/2`

∴ x = -2 cos θ

या `x = -2 cos ((pi"t")/2)`

जहाँ x m में है।

यही सरल आवर्त गति का अभीष्ट समीकरण है।