Question

बिंदुओं (1, 3) तथा (2, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को रेखा 3x + y − 9 = 0 एक निश्चित अनुपात में विभाजित करती है। वह अनुपात तथा प्रतिच्छेदी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer 1

माना, A(1, 3) और B(2, 5) हैं।

माना रेखा AB से बिंदु P, पर मिलती है, जो इसे आंतरिक रूप से AP : PB = k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

विभाजन सूत्र द्वारा, P = `((k·x2 + x1)/(k + 1), (k·y2 + y1)/(k + 1)).`

P के निर्देशांक हैं:

x = `(2k + 1)/(k + 1), y = (5k + 3)/(k + 1)`

इन मानों को समीकरण 3x + y − 9 = 0 में रखने और (k + 1) से गुणा करने पर:

 `3(2k + 1) + (5k + 3) − 9(k + 1) = 0`

⇒ 6k + 3 + 5k + 3 − 9k − 9 = 0

⇒ 2k − 3 = 0

⇒ k = `3/2`

अतः AP : PB = 3 : 2

k = `3/2` का प्रयोग करके P ज्ञात करने पर:

x = `(2·(3/2) + 1)/(3/2 + 1)`

= `4/(5/2)`

= `8/5, y`

= `(5·(3/2) + 3)/(3/2 + 1)`

= `(21/2)/(5/2)`

= `21/5`

रेखा, रेखाखंड को 3 : 2 के अनुपात में (आंतरिक रूप से) विभाजित करती है।

प्रतिच्छेदन बिंदु  P = `(8/5, 21/5)` है।