Question

अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?

Answer 1

4-अंकीय संख्याएँ अंक 1, 2, 3, 4 और 5 का उपयोग करके बनाई जाएगी।

4-अंकीय संख्याएँ उतनी ही होंगी जितनी एक समय में 4 लेने वाले 5 अलग-अलग अंकों के क्रमचय हैं

अत: 4 अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या =

⁵P₄ = `(5!)/((5 - 4)!) = (5!)/(1!)`

= 1x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

अंकों 1, 2, 3, 4, 5 का उपयोग करके बनाई गई 4-अंकीय संख्याओं में से सम संख्याएँ 2 या 4 पर समाप्त होती हैं।

इकाइयों को अंकों से भरने के तरीकों की संख्या 2 है।

क्योंकि अंक दोहराए नहीं जाते हैं और इकाई का स्थान पहले से ही एक अंक (जो सम है) द्वारा लिया जाता है, शेष स्थानों को शेष 4 अंकों से भरना होता है।

इसलिए, शेष स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या एक समय में 3 लिए गए 4 अलग-अलग अंकों का क्रमचय है।

शेष स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या =

⁴P₃ = `(4!)/((4 - 3)!) = (4!)/(1!)`

= 4 × 3 × 2 × 1 = 24

इस प्रकार गणन सिद्धांत के अनुसार सम संख्याओं की अभीष्ट संख्या है, 24 × 2 = 48.