Question

आसन्न आकृति में, AB || EF || CD, CD = 12 cm, AB = 7.2 cm और DF = 4.8 cm हैं। सिद्ध कीजिए कि `(CF)/(FB) = (DF)/(FA)` है। साथ ही, यदि x = 4.5 cm हो, तो का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

1. अनुपात `(CF)/(FB) = (DF)/(FA)` सिद्ध कीजिए।

त्रिभुज ΔFAB और ΔFCD पर विचार कीजिए।

चूँकि AB || CD है, इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:

∠FDC = ∠FBA

∠FCD = ∠FAB

अतः, AA समरूपता कसौटी द्वारा ΔFAB ∼ ΔFDC है।

इस समानता के आधार पर, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं:

`(CF)/(FB) = (CD)/(AB) = (DF)/(FA)`

इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है:

`(CF)/(FB) = (DF)/(FA)`

2. भुजाओं को आपस में जोड़ें और y ज्ञात करें:

समरूपता ΔFAB ∼ ΔFDC से, हम ज्ञात मान CD = 12 cm और AB = 7.2 cm को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

`(CF)/(FB) = 12/7.2`

अनुपात को सरल बनाना:

`(CF)/(FB) = 120/72 = 5/3`

इसका मतलब है कि किसी स्थिरांक k के लिए CF = 5k और FB = 3k हैं।

इसलिए, कुल लंबाई CB = CF + FB = 8k है।

ΔCBA में, EF || AB है, इसलिए ΔCEF ∼ ΔCBA है।

उनकी भुजाएँ समानुपाती हैं।

`(EF)/(AB) = (CF)/(CB)`

दिया है EF = x = 4.5 cm और AB = 7.2 cm:

`4.5/7.2 = (5k)/(8k) = 5/8`

सत्यापन: `4.5/7.2 = 45/72 = 5/8`, जो कि सुसंगत है।

अब, हम यही तर्क दूसरी तिर्यक रेखा BD पर लागू करते हैं।

ΔBDC में,  EF || CD है, इसलिए ΔBEF ∼ ΔBDC है।

`(BF)/(BD) = (EF)/(CD)`

हम जानते हैं कि BF = y और FD = 4.8 cm है,

इसलिए, BD = BF + FD

= y + 4.8

`y/(y + 4.8) = 4.5/12`

3. y का मान निकालें:

y के लिए समीकरण हल करें:

12y = 4.5(y + 4.8)

12y = 4.5y + 21.6

7.5y = 21.6

`y = 21.6/7.5`

y = 2.88 cm

y का मान 2.88 cm है।