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प्रश्न
आसन्न आकृति में, AB || EF || CD, CD = 12 cm, AB = 7.2 cm और DF = 4.8 cm हैं। सिद्ध कीजिए कि `(CF)/(FB) = (DF)/(FA)` है। साथ ही, यदि x = 4.5 cm हो, तो का मान ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
1. अनुपात `(CF)/(FB) = (DF)/(FA)` सिद्ध कीजिए।
त्रिभुज ΔFAB और ΔFCD पर विचार कीजिए।
चूँकि AB || CD है, इसलिए एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं:
∠FDC = ∠FBA
∠FCD = ∠FAB
अतः, AA समरूपता कसौटी द्वारा ΔFAB ∼ ΔFDC है।
इस समानता के आधार पर, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं:
`(CF)/(FB) = (CD)/(AB) = (DF)/(FA)`
इस प्रकार, हमने सिद्ध कर दिया है:
`(CF)/(FB) = (DF)/(FA)`
2. भुजाओं को आपस में जोड़ें और y ज्ञात करें:
समरूपता ΔFAB ∼ ΔFDC से, हम ज्ञात मान CD = 12 cm और AB = 7.2 cm को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
`(CF)/(FB) = 12/7.2`
अनुपात को सरल बनाना:
`(CF)/(FB) = 120/72 = 5/3`
इसका मतलब है कि किसी स्थिरांक k के लिए CF = 5k और FB = 3k हैं।
इसलिए, कुल लंबाई CB = CF + FB = 8k है।
ΔCBA में, EF || AB है, इसलिए ΔCEF ∼ ΔCBA है।
उनकी भुजाएँ समानुपाती हैं।
`(EF)/(AB) = (CF)/(CB)`
दिया है EF = x = 4.5 cm और AB = 7.2 cm:
`4.5/7.2 = (5k)/(8k) = 5/8`
सत्यापन: `4.5/7.2 = 45/72 = 5/8`, जो कि सुसंगत है।
अब, हम यही तर्क दूसरी तिर्यक रेखा BD पर लागू करते हैं।
ΔBDC में, EF || CD है, इसलिए ΔBEF ∼ ΔBDC है।
`(BF)/(BD) = (EF)/(CD)`
हम जानते हैं कि BF = y और FD = 4.8 cm है,
इसलिए, BD = BF + FD
= y + 4.8
`y/(y + 4.8) = 4.5/12`
3. y का मान निकालें:
y के लिए समीकरण हल करें:
12y = 4.5(y + 4.8)
12y = 4.5y + 21.6
7.5y = 21.6
`y = 21.6/7.5`
y = 2.88 cm
y का मान 2.88 cm है।
