Question

A(x₁, y_1), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) एक ΔABC के शीर्ष हैं। माध्यिकाओं BE और CF पर स्थित क्रमश : ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 और CR : RF = 2 : 1 हो।

Answer 1

प्रश्न के अनुसार,

ΔABC के शीर्ष = A, B और C

A, B और C के निर्देशांक = A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)

माना बिंदु Q के निर्देशांक (p, q) हैं।

दिया गया,

बिंदु Q(p, q),

`"B"(x_2, y_2)` और `"E"((x_1 + x_3)/2, (y_1 + y_3)/2)` को जोड़ने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करें।

फिर,

Q के निर्देशांक = `[(2 xx ((x_1 + x_3)/2) + 1 xx x_2)/(2 + 1), (2 xx ((y_1 + y_3)/2) + 1 xx y_2)/(2 + 1)]`

= `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`

चूँकि BE, भुजा CA की माध्यिका है,

तो BE, AC को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

∴ AC का मध्य-बिंदु = E का निर्देशांक;

E = `((x_1 + x_3)/2, (y_1 + y_3)/2)`

तो, बिंदु Q का आवश्यक निर्देशांक;

Q = `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`

अब,

माना बिंदु E के निर्देशांक (⍺, β) हैं।

दिया गया,

बिंदु R`(alpha, beta), "C"(x_3, y_3)` और `"F"((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)` को जोड़ने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करें,

फिर R के निर्देशांक;

= `[(2 xx ((x_1 + x_2)/2) + 1 xx x_3)/(2 + 1), (2 xx ((y_1 + y_2)/2) + 1 xx y_3)/(2 + 1)]`

= `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`

चूँकि CF भुजा AB की माध्यिका है।

तो, CF, AB को दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

∴ AB का मध्य-बिंदु = F के निर्देशांक;

F = `((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)`

तो, बिंदु R का अभीष्ट निर्देशांक;

= `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)`