Question

5 cm त्रिज्या तथा केन्द्र O वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखायें PQ तथा PR हैं। OP वृत्त को बिंदु C पर काटती है, जिस पर एक अन्य स्पर्श रेखा AB खींची गई है। यदि OP = 13 cm है, तो AB तथा PA की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

Answer 1

∵ OQ ⊥ PQ   ...[त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है।]

5² = OP² + 13²

QP² = 13² – 5²

QP² = 169 – 25

QP² = 144

QP = 12 सेमी = PR ...[बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं]

साथ ही, OC ⊥ AB ⇒ ∠ACO = ∠ACP = 90°

ΔOQP और ΔACP में

∠QPO = ∠CPA ...[सामान्य कोण]

∠OQP = ∠ACP   ...[प्रत्येक 90°]

∴ ΔOQP ∼ ΔACP   ...[AA समरूपता]

⇒ `(OQ)/(AC) = (OP)/(CP) = (OP)/(AP)`

⇒ `5/(AC) = 12/(PC) = 13/(AP)`

अब, `5/(AC) = 13/(AP)`

अब, AC = AQ   ...[बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।]

`5/(AQ) = 13/(AP)`

⇒ `(AP)/(AQ) = 13/5`

⇒ AP = 13x, AQ = 5x

अब, PQ = 12

⇒ AP + AQ = 12

⇒ 13x + 5x = 12

⇒ 18x = 12

⇒ `x = 12/18`

⇒ `x = 2/3`

इसलिए, PA = 13x

= `13 xx 2/3`

= `26/3` cm

AQ = AC = 5x

= `5 xx 2/3`

= `10/3`

इसी प्रकार, BR = BC = `10/3` cm

इसलिए, AB = AC + BC

= `10/3 + 10/3`

= `20/3` cm