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Chapters
2: संबंध एवं फलन
3: त्रिकोणमितीय फलन
4: गणितीय आगमन का सिद्धांत
5: सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण
6: रैखिक असमिकाएँ
Chapter 7: क्रमचय और संचय
Chapter 8: द्विपद प्रमेय
Chapter 9: अनुक्रम तथा श्रेणी
Chapter 10: सरल रेखाएँ
Chapter 11: शंकु परिच्छेद
Chapter 12: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Chapter 13: सीमा और अवकलज
Chapter 14: गणितीय विवेचन
Chapter 15: सांख्यिकी
Chapter 16: प्रायिकता
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Solutions for Chapter 1: समुच्चय
Below listed, you can find solutions for Chapter 1 of CBSE NCERT Exemplar for गणित एक्सेम्पलर [हिंदी] इयत्ता ११.
NCERT Exemplar solutions for गणित एक्सेम्पलर [हिंदी] इयत्ता ११ 1 समुच्चय हल किए हुए उदाहरण [Pages 4 - 13]
लघु उत्तरीय प्रश्न
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए।
A = {x | x; 10 से छोटा एक धन पूर्णांक है और 2x - 1 एक विषम संख्या है}
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए।
C = {x : x2 + 7x - 8 = 0, x ∈ R}
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन से कथन सत्य और कौन से असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
37 ∉ {x | x के तथ्यतः (exactly) दो धन गुणनखंड हैं}
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन से कथन सत्य और कौन से असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
28 ∈ {y | y के समस्त धन गुणनखंडों का योगफल 2y है}
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन से कथन सत्य और कौन से असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
7,747 संख्या ∈ {t | t, 37 का गुणज (multiple) है}
सत्य
असत्य
यदि X और Y सार्वजनिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि Y ⊂ X ∪ Y
यदि X और Y सार्वजनिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि X ∩Y ⊂ X
यदि X और Y सार्वजनिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि X ⊂ Y ⇒ X ∩ Y = X
दिया हुआ है कि N = {1, 2, 3,...., 100}, तो
N का वह उप-समुच्चय A लिखिए, जिसके अवयव विषम संख्याएं हैं।
दिया हुआ है कि N = {1, 2, 3,...., 100}, तो
N का वह उप-समुच्चय B लिखिए, जिसके अवयव x + 2 द्वारा निरूपित होते हैं, जहाँ x ∈ N है।
दिया है कि, E = {2, 4, 6, 8, 10} यदि n, E के किसी सदस्य (अवयव) को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित सभी संख्याओं वाले समुच्चय लिखिए:
n + 1
दिया है कि, E = {2, 4, 6, 8, 10} यदि n, E के किसी सदस्य (अवयव) को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित सभी संख्याओं वाले समुच्चय लिखिए:
n2
मान लीजिए कि X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} यदि n, X के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित को समुच्चय रूप में व्यक्त कीजिए
n ∈ X, परंतु 2n ∉ X
मान लीजिए कि X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} यदि n, X के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित को समुच्चय रूप में व्यक्त कीजिए
n + 5 = 8
मान लीजिए कि X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} यदि n, X के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित को समुच्चय रूप में व्यक्त कीजिए
n, 4 से अधिक है
समुच्चय E, M और U के बीच निम्नलिखित संबंध को स्पष्ट करने वाले वेन आरेख खींचिए, जहाँ E, किसी विद्यालय में अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है, M इसी विद्यालय में गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है तथा U उस विद्यालय में पढ़ने वाले समस्त विद्यार्थियों का समुच्चय है।
गणित पढ़ने वाले सभी विद्यार्थी अंग्रेजी भी पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाले कुछ ऐसे विद्यार्थी हैं जो गणित नहीं पढ़ते हैं।
समुच्चय E, M और U के बीच निम्नलिखित संबंध को स्पष्ट करने वाले वेन आरेख खींचिए, जहाँ E, किसी विद्यालय में अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है, M इसी विद्यालय में गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है तथा U उस विद्यालय में पढ़ने वाले समस्त विद्यार्थियों का समुच्चय है।
ऐसा कोई विद्यार्थी नहीं हैं जो गणित तथा अंग्रेजी दोनों विषय पढ़ता है।
समुच्चय E, M और U के बीच निम्नलिखित संबंध को स्पष्ट करने वाले वेन आरेख खींचिए, जहाँ E, किसी विद्यालय में अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है, M इसी विद्यालय में गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है तथा U उस विद्यालय में पढ़ने वाले समस्त विद्यार्थियों का समुच्चय है।
कुछ विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी नहीं पढ़ते हैं, कुछ अंग्रेजी पढ़ते हैं परंतु गणित नहीं पढ़ते हैं और कुछ दोनों विषय पढ़ते हैं।
समुच्चय E, M और U के बीच निम्नलिखित संबंध को स्पष्ट करने वाले वेन आरेख खींचिए, जहाँ E, किसी विद्यालय में अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है, M इसी विद्यालय में गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है तथा U उस विद्यालय में पढ़ने वाले समस्त विद्यार्थियों का समुच्चय है।
सभी विद्यार्थी गणित नहीं पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाला प्रत्येक विद्यार्थी गणित भी पढ़ता है।
सभी समुच्चयों A, B और C के लिए क्या (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) है? अपने कथन (उत्तर) का औचित्य भी बताइए।
समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी समुच्चयों A तथा B के लिए A – (A ∩ B) = A – B
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
सभी समुच्चयों A, B तथा C के लिए क्या (A – B) ∩ (C – B) = (A ∩ C) – B है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
मान लीजिए कि A, B और C समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
मान लीजिए कि P अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और S = {t|2t - 1|} एक अभाज्य संख्या है। सिद्ध कीजिए कि S ⊂ P.
गणित, भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान में परीक्षा देने वाले 50 विद्यार्थियों में से प्रत्येक कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होता है। 37 गणित में, 24 भौतिक विज्ञान में तथा 43 रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण होते हैं। यदि गणित और भौतिक विज्ञान में अधिकतम 19, गणित और रसायन विज्ञान में अधिकतम 29 तथा भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान में अधिकतम 20 उत्तीर्ण होते हैं, तो तीनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों की अधिकतम संभव संख्या कितनी है?
उदाहरण 14 से 16 में दिये गये चार विकल्पों में से सही विकल्प का चयन कीजिए: (M.C.Q.)
प्रत्येक समुच्चय Xr में 5 अवयव हैं तथा प्रत्येक समुच्चय Yr में 2 अवयव हैं और `""_(r = 1)""^(20)X_r = S = ""_(r = 1)""^(n)Y_r`. यदि S का प्रत्येक अवयव Xr के तथ्यतः (exactly) 10 समुच्चयों और Yr प्रकार के तथ्यतः 4 समुच्चयों में है, तो n का मान ______
10
20
100
50
दो परिमित (Finite) समुच्चयों में क्रमश: m और n अवयव हैं। पहले समुच्चय के उप-समुच्चयों की कुल संख्या दूसरे समुच्चय के उप-समुच्चयों की कुल संख्या से 56 अधिक है। m और n के मान क्रमश: ______
7, 6
5, 1
6, 3
8, 7
समुच्चय (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′ समान है।
B ∩ C′
A ∩ C
B ∪ C′
A ∩ C′
उदाहरण 17 और 18 में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।
यदि A और B दो परिमित समुच्चय हैं, तो n(A) + n(B) ______ के बराबर होता है।
यदि A एक परिमित समुच्चय है, जिसमें n अवयव हैं, तो A के उप-समुच्चयों की संख्या ______ होती है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं।
मान लीजिए कि R और S निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित समुच्चय हैं:
R = {x ∈ Z | x, 2 से भाज्य है}
S = {y ∈ Z | y, 3 से भाज्य है},
तो R ∩ S = φ
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं।
Q ∩ R = Q, जहाँ Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय है और R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
सत्य
असत्य
NCERT Exemplar solutions for गणित एक्सेम्पलर [हिंदी] इयत्ता ११ 1 समुच्चय प्रश्नावली [Pages 13 - 18]
लघु उत्तरीय प्रश्न (S.A.)
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए:
A = {x : x ∈ R, 2x + 11 = 15}
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए:
B = {x | x2 = x, x ∈ R}
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए:
C = {x | x अभाज्य संख्या p का एक धनात्मक गुणनखंड है}
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए:
D = {t | t3 = t, t ∈ R}
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए:
E = `{w | (w - 2)/(w + 3) = 3, w ∈ R}`
निम्नलिखित समुच्चय को रोस्टर रूप में लिखिए:
F = {x | x4 – 5x2 + 6 = 0, x ∈ R}
यदि Y = {x | x संख्या 2p−1(2p − 1) का एक धनात्मक गुणनखंड है, जहाँ 2p − 1 एक अभाज्य संख्या है}, तो Y को रोस्टर रूप में लिखिए।
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन सत्य और कौन असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन सत्य और कौन असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन सत्य और कौन असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सत्य
असत्य
बताइए कि निम्नलिखित कथन में से कौन सत्य और कौन असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
496 ∉ {y | y के समस्त धनात्मक गुणनखंडों का योगफल 2y है}
सत्य
असत्य
दिया है कि L = {1, 2, 3, 4}, M = {3, 4, 5, 6} और N = {1, 3, 5}, तो सत्यापित (Verify) कीजिए कि L – (M ∪ N) = (L – M) ∩ (L – N)
यदि A और B सार्वत्रिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, A ⊂ A ∪ B
यदि A और B सार्वत्रिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, A ⊂ B ⇔ (A ∪ B = B)
यदि A और B सार्वत्रिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, (A ∩ B) ⊂ A
दिया है कि, N = {1, 2, 3, …, 100}, तो निम्नलिखित को लिखिए:
दिया है कि, N = {1, 2, 3, …, 100}, तो निम्नलिखित को लिखिए:
दिया है कि X = {1, 2, 3}, यदि n समुच्चय के X किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित समस्त संख्याओं को अंतर्विष्ट (Contain) करने वाले समुच्चयों को लिखिए:
दिया है कि X = {1, 2, 3}, यदि n समुच्चय के X किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित समस्त संख्याओं को अंतर्विष्ट (Contain) करने वाले समुच्चयों को लिखिए:
दिया है कि X = {1, 2, 3}, यदि n समुच्चय के X किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित समस्त संख्याओं को अंतर्विष्ट (Contain) करने वाले समुच्चयों को लिखिए:
दिया है कि X = {1, 2, 3}, यदि n समुच्चय के X किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित समस्त संख्याओं को अंतर्विष्ट (Contain) करने वाले समुच्चयों को लिखिए:
यदि Y = {1, 2, 3, … 10}, तथा a समुच्चय Y के किसी अवयव को निरूपित करता है, तो उन समुच्चयों को लिखिए जिनके अंतर्विष्ट समस्त अवयव निम्नलिखित प्रतिबंधों (Conditions) को संतुष्ट करते हैं:
a ∈ Y परंतु a2 ∉ Y
यदि Y = {1, 2, 3, … 10}, तथा a समुच्चय Y के किसी अवयव को निरूपित करता है, तो उन समुच्चयों को लिखिए जिनके अंतर्विष्ट समस्त अवयव निम्नलिखित प्रतिबंधों (Conditions) को संतुष्ट करते हैं:
a + 1 = 6, a ∈ Y
यदि Y = {1, 2, 3, … 10}, तथा a समुच्चय Y के किसी अवयव को निरूपित करता है, तो उन समुच्चयों को लिखिए जिनके अंतर्विष्ट समस्त अवयव निम्नलिखित प्रतिबंधों (Conditions) को संतुष्ट करते हैं:
A, B तथा C सार्वत्रिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं। यदि A = {2, 4, 6, 8, 12, 20}, B = {3, 6, 9, 12, 15}, C = {5, 10, 15, 20} और U सभी पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है, तो U, A, B और C के परस्पर संबंधों को दर्शाने वाला वेन आरेख खींचिए।
मान लीजिए कि U किसी विद्यालय के समस्त लड़के और लड़कियों का समुच्चय है, G उस विद्यालय के समस्त लड़कियों का समुच्चय है, B उस विद्यालय के समस्त लड़कों का समुच्चय है और S उस विद्यालय के उन सभी विद्यार्थियों का समुच्चय है, जो तैरना सीखते हैं। उस विद्यालय के केवल कुछ विद्यार्थी तैरना सीखते हैं। U, G, B और S समुच्चयों के बीच संभव परस्पर संबंधों में से किसी एक संबंध को प्रदर्शित करने वाला एक वेन आरेख खींचिए।
सभी समुच्चयों A, B और C के लिए सिद्ध कीजिए कि, (A − B) ∩ (C − B) = A − (B ∪ C)
निर्धारित कीजिए कि प्रश्न में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सभी समुच्चयों A और B के लिए (A − B) ∪ (A ∩ B) = A
सत्य
असत्य
निर्धारित कीजिए कि प्रश्न में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, A − (B − C) = (A − B) − C
सत्य
असत्य
निर्धारित कीजिए कि प्रश्न में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, यदि A ⊂ B, तो A ∩ C ⊂ B ∩ C
सत्य
असत्य
निर्धारित कीजिए कि प्रश्न में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, यदि A ⊂ B, तो A ∪ C ⊂ B ∪ C
सत्य
असत्य
निर्धारित कीजिए कि प्रश्न में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, यदि A ⊂ C और B ⊂ C, तो A ∪ B ⊂ C
सत्य
असत्य
समुच्चयों के गुणधमों का प्रयोग करके प्रश्न संख्या 18 से 21 में दिये कथनों को सिद्ध कीजिए:
सभी समुच्चयों A और B के लिए, A ∪ (B − A) = A ∪ B
सभी समुच्चयों A और B के लिए, A − (A − B) = A ∩ B
सभी समुच्चयों A और B के लिए, A − (A ∩ B) = A − B
सभी समुच्चयों A और B के लिए, (A ∪ B) - B = A - B
मान लीजिए कि T = `{x | (x + 5)/(x - 7) - 5 = (4x - 40)/(13 - x)}` क्या T एक रिक्त समुच्चय है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)
मान लीजिए कि A, B और C कोई समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
100 विद्यार्थियों में से 15 अंग्रेजी, 12 गणित और 8 विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। 6 अंग्रेजी और गणित, 7 गणित और विज्ञान, 4, अंग्रेजी और विज्ञान तथा 4 तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए:
अंग्रेजी और गणित परंतु विज्ञान में नहीं
100 विद्यार्थियों में से 15 अंग्रेजी, 12 गणित और 8 विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। 6 अंग्रेजी और गणित, 7 गणित और विज्ञान, 4, अंग्रेजी और विज्ञान तथा 4 तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए:
गणित और विज्ञान परंतु अंग्रेजी में नहीं
100 विद्यार्थियों में से 15 अंग्रेजी, 12 गणित और 8 विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। 6 अंग्रेजी और गणित, 7 गणित और विज्ञान, 4, अंग्रेजी और विज्ञान तथा 4 तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए: केवल गणित में
100 विद्यार्थियों में से 15 अंग्रेजी, 12 गणित और 8 विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। 6 अंग्रेजी और गणित, 7 गणित और विज्ञान, 4, अंग्रेजी और विज्ञान तथा 4 तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुए: केवल एक से अधिक विषयों में
60 विद्यार्थियों की एक कक्षा में, 25 विद्यार्थी क्रिकेट और 20 विद्यार्थी टेनिस खेलते हैं तथा 10 विद्यार्थी दोनों ही खेल खेलते हैं। उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो इन दोनों में से कोई भी खेल नहीं खेलते हैं।
किसी विद्यालय के 200 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण (Survey) से ज्ञात हुआ कि 120 विद्यार्थी गणित, 90 भौतिक विज्ञान तथा 70 रसायन विज्ञान पढ़ते हैं। 40 गणित और भौतिक विज्ञान, 30 भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान, 50 रसायन विज्ञान और गणित पढ़ते हैं तथा 20 इन विषयों में से कोई भी विषय नहीं पढ़ते हैं। उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए, जो इन तीनों ही विषयों को पढ़ते हैं।
किसी शहर के 10,000 परिवारों के बारे में ज्ञात होता है कि 40% समाचार पत्र A, 20% समाचार पत्र B, 10% समाचार पत्र C, 5% समाचार पत्र A और B, 3% समाचार पत्र B और C तथा 4% समाचार पत्र A और C खरीदते हैं। यदि 2% परिवार तीनों ही समाचार पत्र खरीदते हैं, तो उन परिवारों की संख्या ज्ञात कीजिए जो केवल समाचार पत्र A खरीदते हैं।
किसी शहर के 10,000 परिवारों के बारे में ज्ञात होता है कि 40% समाचार पत्र A, 20% समाचार पत्र B, 10% समाचार पत्र C, 5% समाचार पत्र A और B, 3% समाचार पत्र B और C तथा 4% समाचार पत्र A और C खरीदते हैं। यदि 2% परिवार तीनों ही समाचार पत्र खरीदते हैं, तो उन परिवारों की संख्या ज्ञात कीजिए जो A, B तथा C में से कोई भी समाचार पत्र नहीं खरीदते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, केवल फ्रांसीसी पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, केवल अंग्रेजी पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, केवल संस्कृत पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, अंग्रेजी और संस्कृत पढ़ते हैं परंतु, फ्रांसीसी नहीं पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, फ्रांसीसी और संस्कृत पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी नहीं पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, फ्रांसीसी और अंग्रेजी पढ़ते हैं परंतु संस्कृत नहीं पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, तीनों भाषाओं में से कम से कम एक भाषा पढ़ते हैं।
50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार है: फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो, तीनों भाषाओं में से एक भी भाषा नहीं पढ़ते हैं।
वस्तुनिष्ट प्रश्न (Objective Type Questions) प्रश्न संख्या 29 से 43 में प्रत्येक में दिये गये चार विकल्पों में सही विकल्प का चयन कीजिए (M.C.Q.):
मान लीजिए कि तीस समुच्चय A1, A2, A3,…,A30 में से प्रत्येक में 5 अवयव तथा n समुच्चय B1, B2, B3,…,Bn में से प्रत्येक में 3 अवयव है। मान लीजिए कि `""_{i=1}""^30""A_i = ""_{j=1}""^n""B_j = S` यदि S का प्रत्येक अवयव Ai प्रकार के तथ्यत: 10 और Bj, प्रकार के तथ्यतः 9 समुच्चयों में है, तो n का मान ______
15
3
45
35
दो परिमित समुच्चयों में क्रमश: m और n अवयव हैं। पहले समुच्चय के उप-समुच्चयों की संख्या दूसरे समुच्चय के उप-समुच्चयों के उप-समुच्चयों की संख्या से 112 अधिक है। m और n के मान क्रमश: ______
4, 7
7, 4
4, 4
7, 7
समुच्चय (A ∩ B′)′ ∪ (B ∩ C) निम्नलिखित में से किस समुच्चय के समान हैः
A′ ∪ B ∪ C
A′ ∪ B
A′ ∪ C′
A′ ∩ B
मान लीजिए कि F1 समांतर चतुर्भुज, F2 आयत, F3 समचतुर्भुज, F4 वर्ग तथा F5 समलंब चतुर्भुज के समुच्चय हैं, तो F1 निम्नलिखित में से किसके समान है?
F2 ∩ F3
F3 ∩ F4
F2 ∪ F5
F2∪ F3 ∪ F4 ∪ F1
मान लीजिए कि S = किसी वर्ग के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय, T = किसी त्रिभुज के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय, C = किसी वृत्त के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय। यदि त्रिभुज और वृत्त एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं (काटते हैं) और वर्ग में अंतर्विष्ट हैं, तो ______
S ∩ T ∩ C = φ
S ∪ T ∪ C = C
S ∪ T ∪ C = S
S ∪ T = S ∩ C
मान लीजिए कि R, भुजा a और b (a, b > 1) वाले एक ऐसे आयत के भीतरी बिंदुओं का समुच्चय है, जिसकी भुजाएँ क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के अनुदिश (along) हैं, तो ______
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b}
R = {(x, y) : 0 ≤ x < a, 0 ≤ y ≤ b}
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 < y < b}
R = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < b}
60 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 25 विद्यार्थी क्रिकेट, 20 विद्यार्थी टेनिस और 10 विद्यार्थी दोनों ही खेल खेलते हैं, तो दोनों में से कोई भी खेल नहीं खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या ______
0
25
35
45
यदि 840 व्यक्तियों वाले किसी नगर में 450 व्यक्ति हिंदी, 300 व्यक्ति अंग्रेजी और 200 व्यक्ति दोनों ही विषय पढ़ते हैं, तो दोनों में से कोई भी विषय नहीं पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या ______
210
290
180
260
यदि X = {8n − 7n − 1 ∣ n ∈ N} और Y = {49n − 49 ∣ n ∈ N}, तो ______
X ⊂ Y
Y ⊂ X
X = Y
X ∩ Y = φ
एक सर्वक्षण प्रदर्शित करता है कि 63% लोग किसी समाचार चैनल (News Channel) को देखते हैं जबकि 76% लोग किसी अन्य चैनल को देखते हैं। यदि x% लोग दोनों चैनल देखते हैं, तो ______
x = 35
x = 63
39 ≤ x ≤ 63
x = 39
यदि समुच्चय A और B निम्नलिख़ित प्रकार से परिभाषित हैं, A = `{(x,y)∣y=1/x,0≠x∈R}` B = {(x; y) ∣ y = −x, x ∈ R}, तो ______
A ∩ B = A
A ∩ B = B
A ∩ B = φ
A ∪ B = A
यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A ∩ (A ∪ B) समान है:
A
B
φ
A ∩ B
यदि A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} B = {2, 4,…,18} तथा N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय है, तो A′ ∪ (A ∪ B) ∩ B′) समान है:
φ
N
A
B
मान लीजिए कि S = {x ∣ x 100 से छोटा 3 का एक धनात्मक गुणज है},
P = {x ∣ x, 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या है}, तो n(S) + n(P) = ______ है।
34
41
33
30
यदि X तथा Y दो समुच्चय हैं और X′ X के पूरक समुच्चय को निरूपित करता है, तो X ∩ (X ∪ Y) समान है:
X
Y
φ
X ∩ Y
प्रश्न संख्या 44 से 51 में से प्रत्येक में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
समुच्चय {x ∈ R : 1 ≤ x < 2} को ______ प्रकार से भी लिखा जा सकता है।
जब A = ϕ, तो P(A) में अवयवों की संख्या ______ है।
यदि A तथा B इस प्रकार के परिमित समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो n(A ∪ B) = ______
यदि A तथा B कोई भी दो समुच्चय हैं, तो A − B ______ के समान है।
समुच्चय A = {1, 2} का घात समुच्चय ______ है।
दिया हुआ है कि A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6} तथा C = {0, 2, 4, 6, 8}, तो समुच्चयों A, B तथा C का एक सार्वत्रिक समुच्चय ______ है।
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 7} तथा C = {2, 3, 4, 8}, तो (B ∪ C)′ ______ है।
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 7} तथा C = {2, 3, 4, 8}, तो (C – A)′ ______ है।
किसी भी समुच्चय A तथा B के लिए, A − (A ∩ B) ______ के समान है।
सभी समुच्चयों A, B तथा C के लिए निम्नलिखित समुच्चयों का सही मिलान कीजिएः
| (i) ((A′ ∪ B′) – A)′ | (a) A – B |
| (ii) [B′ ∪ (B′ – A)]′ | (b) A |
| (iii) (A – B) – (B – C) | (c) B |
| (iv) (A – B) ∩ (C – B) | (d) (A × B) ∩ (A × C) |
| (v) A × (B ∩ C) | (e) (A × B) ∪ (A × C) |
| (vi) A × (B ∪ C) | (f) (A ∩ C) – B |
निम्नलिखित कथन को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिए:
यदि A कोई समुच्चय है, तो A ⊂ A
सत्य
असत्य
निम्नलिखित कथन को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिए:
दिया हुआ है कि M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} और यदि B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, तो B ⊄ M
सत्य
असत्य
निम्नलिखित कथन को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिए:
समुच्चय {1, 2, 3, 4} तथा {3, 4, 5, 6} समान हैं।
सत्य
असत्य
निम्नलिखित कथन को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिए:
सत्य
असत्य
निम्नलिखित कथन को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिए:
मान लीजिए कि समुच्चय R और T निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित हैं,
R = {x ∈ Z ∣ x, संख्या 2 से भाज्य है}
T = {x ∈ Z ∣ x, संख्या 6 भाज्य है}, तो T ⊂ R
सत्य
असत्य
निम्नलिखित कथन को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिए:
दिया हुआ है कि A = {0, 1, 2}, B = {x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 2}, तो सिद्ध कीजिए कि A = B
सत्य
असत्य
Solutions for 1: समुच्चय
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