Mathematics (गणित) Basic - 430/2/3 2025-2026 Hindi Medium Class 10 [कक्षा १०] Question Paper Solution

यदि x = −1, समीकरण ax² − bx + 3 = 0 का एक मूल है, तो:

−a + b − 3 = 0

a − b − 3 = 0

−a − b + 3 = 0

a + b + 3 = 0

दी गई आकृति में, समकोण त्रिभुज POQ में कर्ण की लम्बाई है:

6 इकाई

8 इकाई

10 इकाई

100 इकाई

दी गई आकृति में, यदि ME || SU है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

Δ МОЕ ~ Δ SOU

Δ MОЕ ~ Δ SUO

Δ OEM ~ Δ USO

Δ OEM ~ Δ OSU

दी गई आकृति में, यदि Δ ACP ~ Δ DCP है, तो:

∠DCP = 60°

∠DCP = 30°

∠DCP = 90°

∠DPC = 30°

एक द्विघात बहुपद का ग्राफ नीचे दर्शाया गया है:

इस द्विघात बहुपद के शून्यकों का गुणनफल और योगफल क्रमशः है:

−5 और −6

5 और −6

5 और 6

−5 और 6

एक पिता की आयु (वर्षों में) और उसकी पुत्री की आयु के तीन गुने का योगफल 59 है। यदि पिता की वर्तमान आयु वर्ष है और उसकी पुत्री की आयु ५ वर्ष है, तो दी गई सूचना को जिस समीकरण से निरूपित करेंगे, वह समीकरण है:

3x + y = 59

x + y = 59

x + 3y = 59

x + y = 56

समांतर श्रेढ़ी `sqrt2, sqrt8, sqrt18`, ... का 10वाँ पद ह:

`sqrt162`

`sqrt200`

`sqrt54`

`sqrt94`

tan 60° − cot 60° का मान बराबर है:

sec 30° के

cosec 30° के

cos 30° के

sin 60° के

A का एक संभावित मान, जिसके लिए cos 2A = cos A है, है:

0°

30°

45°

90°

एक समय पर, एक छड़ी की छाया की लंबाई, छड़ी की लंबाई का `sqrt3`  गुना है, जैसा नीचे चित्र में दर्शाया गया है। उस समय पर सूर्य का उन्नतांश है:

30°

45°

60°

90°

त्रिज्या ‘r’ के एक ठोस अर्धगोले के अंतर्गत बड़े-से-बड़ा लम्ब वृत्तीय शंकु खोदकर निकाला जाता है, जैसा नीचे चित्र में दर्शाया गया है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई है:

r

2r

`sqrt2` r

`sqrt3` r

यदि एक बारंबारता बंटन के लिए, माध्य, माध्यक का `3/4` गुना है, तो उसका बहुलक ______ है।

माध्यक के बराबर

माध्यक का `3/2` गुना

माध्य के बराबर

माध्य का 3 गुना

दिए गए आँकड़ों पर विचार कीजिए:

माध्यक वर्ग की निचली सीमा और बहुलक वर्ग की ऊपरी सीमा का अंतर है:

0

20

40

10

एक अनभिनत पासा एक बार उछाला जाता है। 3 का एक सम गुणज प्राप्त होने की प्रायिकता है:

0

`1/2`

`1/3`

`1/6`

सबसे छोटी 2-अंकीय संख्या और सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या के लघुतम समापवर्त्य (LCM) को 2^p . 5^q के रूप में व्यक्त किया गया है। p और q के मान क्रमशः हैं:

1, 2

1, 1

2, 1

2, 2

दो भिन्न प्राकृत संख्याओं a और b के महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुतम समापवर्त्य (LCM) के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा कौन-से कथन सही है/हैं?

1. HCF हमेशा LCM से बड़ा होता है।
2. HCF, LCM का एक गुणनखंड होता है।
3. LCM, HCF का एक गुणनखंड होता है।

केवल (i)

(i) और (iii)

(i) और (ii)

केवल (ii)

निम्नलिखित समीकरण निकायों में किस निकाय का अद्वितीय हल है?

x = 0, x = 1

x + y = 0, 2x + 2y = 0

x + y = 2, x − y = 3

x + y = 5, x + y = 10

यदि द्विघात समीकरण ax² + 2bx − c = 0 (a ≠ 0) के मूल वास्तविक और बराबर हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा सही है?

b² = −ac

b² = 4ас

b² = ac

b² = −4ас

अभिकथन (A): किसी निश्चित घटना E की प्रायिकता 1 होती है।

तर्क (R): किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योगफल 1 होता है।

अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।

अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।

अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।

अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।

अभिकथन (A): (`sqrt2 + sqrt3`) एक अपरिमेय संख्या है।

तर्क (R): दो अपरिमेय संख्याओं का योगफल सदैव ही एक अपरिमेय संख्या होती है।

नीचे दी गई आकृति में ∠1 = ∠2 तथा `"BE"/"BC" = "CD"/"AB"` है। सिद्ध कीजिए कि Δ BDE ~ Δ BAC.

त्रिभुज XYZ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसमें समकोण X पर है। cosec² Y + tan² Z का मान ज्ञात कीजिए।

sec 60° . cos² 30° + sin² 45° का मान ज्ञात कीजिए।

एक वर्गाकार डार्ट बोर्ड को चार बराबर वर्गों में विभाजित किया गया है जैसा चित्र में नीचे दर्शाया गया है। यदि एक डार्ट वर्ग APOS पर हिट करता है, तो खेलने वाला ₹ 100 जीतता है। यदि डार्ट वर्ग BPOQ पर हिट करता है, तो खेलने वाले को ₹ 50 खोने पड़ते हैं। यदि डार्ट वर्ग OQCR को हिट करता है, तो खेलने वाले को ₹ 100 खोने पड़ते हैं और यदि यह वर्ग ORDS को हिट करता है, तो खेलने वाला ₹ 25 जीतता है। एक खेलने वाला व्यक्ति अपनी बारी पर एक डार्ट, वर्गाकार डार्ट बोर्ड पर हिट करता है। क्या प्रायिकता होगी:

1. खेलने वाला कुछ धन खोता है?
2. खेलने वाला ₹ 100 जीतता है?

व्यास AB की एक अर्धवृत्ताकार चाप पर बिंदु P(x, y) स्थित है, जैसा दिए गए चित्र में दर्शाया गया है। बिन्दु A और B के निर्देशांक क्रमशः (3, 0) और (0, 4) हैं। x और y के बीच का संबंध ज्ञात कीजिए, यदि PA² + PB² = AB² है।

रेखाखंड B को बिंदु P और Q, तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं, जैसा दिए गए चित्र में दर्शाया गया है। P और Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

द्विघात बहुपद 9x² − 25 के लिए शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि निम्न समीकरण निकाय k = −6 के लिए असंगत है:

2x – 3y = 7 और 4x + ky = 9.

यदि k = –1 है, तो उपर्युक्त समीकरण निकाय का हल भी प्राप्त कीजिए।

निम्नलिखित समीकरण निकाय को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए और बताइए कि यह निकाय संगत है या असंगत:

2x + 3y = 6
4x + 6y = 24

दर्शाइए कि चतुर्भुज ‘PLOT’, जिसके शीर्ष P(1, 1), L (−5, 1), (5, 4) और T(1, 4) हैं, एक आयत है। क्या यह एक वर्ग भी है? औचित्य सिद्ध कीजिए।

यदि sin A + sin² A = 1 है, तो cos² A + cos⁴ A का मान ज्ञात कीजिए।

उपर्युक्त का उपयोग करके यह भी सिद्ध कीजिए कि tan² A . sec² A = 1 है।

सिद्ध कीजिए कि `(1 + "cosec"  θ)/("cosec"  θ) = (cos^2 θ)/(1 - sin θ)`

दी गई आकृति में, समद्विबाहु त्रिभुज ABC जिसमें AB = AC है, त्रिभुज की बढ़ाई गई भुजा CB पर बिंदु E है। यदि AD ⊥ BC तथा EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि Δ ABD ~ Δ ECF. अतः सिद्ध कीजिए कि `"AC"/"EC" = "BD"/"CF"`.

सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श-रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।

नेहा यह दावा करती है कि संख्याओं 1 और 2 के बीच कोई अपरिमेय संख्या नहीं होती है। रौनक यह दावा करता है कि `sqrt2` संख्याओं 1 और 2 के बीच की एक संख्या है, जो एक अपरिमेय संख्या है। बताइए दोनों में कौन सही है। यह सिद्ध करके कि `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है या नहीं औचित्य सिद्ध कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि दो संकेन्द्री वृत्तों में, बड़े वृत्त की जीवा, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है। अतः, बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि संकेन्द्री वृत्तों का व्यास क्रमशः 10 cm और 8 cm है।

आकृति में दर्शाया गया ABCD एक वर्ग है। A, B, C, और D को केन्द्र मानकर, चार चतुर्थांश इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक चतुर्थांश शेष तीन चतुर्थांशों में से दो चतुर्थांश को बाह्य रूप में स्पर्श करता है। यदि छायांकित भाग का क्षेत्रफल 42 cm² है, तो वर्ग ABCD की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। छायांकित क्षेत्र की परिधि भी ज्ञात कीजिए।

दी गई आकृति में, केंद्र 0 वाले एक वृत्त के अन्दर 14 cm विकर्ण वाला एक आयत ABCD बना है। यदि छायांकित भाग का क्षेत्रफल a + b `sqrt3` के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए। साथ ही त्रिज्यखंड OABO की परिधि भी ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित बंटन का माध्यक 137 है। x और y के मान ज्ञात कीजिए।

`x - 1/x = 3` को मानक रूप में एक द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और इससे उसके मूल ज्ञात कीजिए। साथ ही, ‘a’ का मान भी ज्ञात कीजिए जिससे समीकरण `x + 1/x = a` को एक द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त करने पर, वास्तविक व बराबर मूल हों।

निम्नलिखित पैटर्न को देखिए, जिसमें प्रत्येक छोटा वर्ग एक इकाई वर्ग (1 इकाई भुजा का वर्ग) को निरूपित करता है।

यदि nवीं आकृति और (n + 2)वीं आकृति में इकाई वर्गों की संख्या का योगफल 290 है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।

आठ (8) देशों के क्रिकेट टूर्नामेंट के लिए, नीचे दर्शाई गई एक विशेष ट्रॉफी की डिजाइन तैयार की गई है।

बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः 14cm और 6 cm हैं और शीर्ष पर रखी हुई गोलाकार गेंद का व्यास 7 cm है।

उपर्युक्त जानकारी के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) ट्रॉफी की कुल ऊँचाई (लकड़ी के भाग को छोड़कर) ज्ञात कीजिए।  (1)

(ii) बेलन और गेंद की त्रिज्याओं के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।  (1)

(iii) (क) यदि बेलनाकार भाग और गोलाकार भाग को अलग कर दिया जाए और उन पर सोने की परत करानी है, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिस पर सोने की परत लगवानी है।  (2)

अथवा

(iii) (ख) इस ट्रॉफी में प्रयुक्त धातु का आयतन ज्ञात कीजिए, जबकि ट्रॉफी पूरी तरह से धातु से भरी हुई है।  (2)

एक बहुमंजिली इमारत का निर्माण स्टिल्ट पार्किंग के साथ किया गया है। भूतल से शीर्ष तल तक लिफ्ट और सीढ़ियों का प्रावधान किया गया है। भूतल से प्रथम तल तक 10 सीढ़ी हैं। प्रथम तल से द्वितीय तल तक 24. द्वितीय तल से तृतीय तल तक 38 तथा इसी प्रकार सीढ़ियों है।

उपर्युक्त जानकारी के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) क्या 10, 24, 38, ... एक समांतर श्रेढ़ी बनाते हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।  (1)

(ii) भूतल से 11वें तल तक कुल कितनी सीढ़ियाँ होंगी?  (1)

(iii) एक व्यक्ति, इस इमारत में रहने वाले लोगों को पानी के कैन पहुँचाता है। पानी के कैन भारी होने के कारण, वह प्रत्येक तल पर एक बार में एक कैन लेकर जाता है। उसने भूतल से प्रथम तल पर एक कैन पहुँचाया। वापस आकर वह द्वितीय तल पर एक कैन लेकर जाता है। फिर वापस आकर वह तृतीय तल पर एक कैन लेकर जाता है। इसी प्रकार वह कैन पहुँचाता है।

(क) समांतर श्रेढ़ी के उपयोग से ज्ञात कीजिए कि छठे तल तक पानी के कैन पहुँचाने के लिए उसे कुल कितनी सीढ़ियाँ चढ़नी और उतरनी पड़ीं।  (2)

अथवा

(ख) अगले दिन उसी प्रक्रिया से वह ऊपर तथा नीचे कुल 380 सीढ़ियाँ चढ़ता है, तो ज्ञात कीजिए कि वह किस मंज़िल तक पानी पहुँचा सका।  (2)

जलवायु परिवर्तन और ग्लोबल वार्मिंग, तूफान के व्यवहार को प्रभावित कर रहे हैं, विशेष रूप से तीजता और वर्षा के संदर्भ में। तेज हवाओं और तूफानों के कारण अकसर पेड़ उखड़ जाते हैं या टूट जाते है, जिससे पेड़ों के नीचे खड़े वाहनों को नुकसान पहुँचता है।

किसी एक विशेष दिन, उच्च तीव्रता वाले तूफान के दौरान, एक पेड़ टूट जाता है और उसका टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर ज़मीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। जहाँ पेड़ का शिखर ज़मीन को छूता है, वहाँ से पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी 10 m है।

उपयुक्त जानकारी के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) दी गई जानकारी को एक साफ़ और अच्छी तरह से नामांकित आरेख की सहायता से दर्शाइए।  (1)

(ii) भूमि से वह ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिस पर पेड़ टूटा है।  (1)

(iii) (क) टूटने से पहले, पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (`sqrt3` = 1.732 लीजिए)  (2)

अथवा

(iii) (ख) यदि एक दूसरा पेड़ भी उसी ऊँचाई से टूटता है जहाँ से पहला पेड़ टूटा था (भाग ii). परन्तु टूटा हुआ भाग इस तरह से मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर ज़मीन से 60° का कोण बनाता है, तो पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।  (2)