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प्रश्न
एक बहुमंजिली इमारत का निर्माण स्टिल्ट पार्किंग के साथ किया गया है। भूतल से शीर्ष तल तक लिफ्ट और सीढ़ियों का प्रावधान किया गया है। भूतल से प्रथम तल तक 10 सीढ़ी हैं। प्रथम तल से द्वितीय तल तक 24. द्वितीय तल से तृतीय तल तक 38 तथा इसी प्रकार सीढ़ियों है।
उपर्युक्त जानकारी के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) क्या 10, 24, 38, ... एक समांतर श्रेढ़ी बनाते हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। (1)
(ii) भूतल से 11वें तल तक कुल कितनी सीढ़ियाँ होंगी? (1)
(iii) एक व्यक्ति, इस इमारत में रहने वाले लोगों को पानी के कैन पहुँचाता है। पानी के कैन भारी होने के कारण, वह प्रत्येक तल पर एक बार में एक कैन लेकर जाता है। उसने भूतल से प्रथम तल पर एक कैन पहुँचाया। वापस आकर वह द्वितीय तल पर एक कैन लेकर जाता है। फिर वापस आकर वह तृतीय तल पर एक कैन लेकर जाता है। इसी प्रकार वह कैन पहुँचाता है।
(क) समांतर श्रेढ़ी के उपयोग से ज्ञात कीजिए कि छठे तल तक पानी के कैन पहुँचाने के लिए उसे कुल कितनी सीढ़ियाँ चढ़नी और उतरनी पड़ीं। (2)
अथवा
(ख) अगले दिन उसी प्रक्रिया से वह ऊपर तथा नीचे कुल 380 सीढ़ियाँ चढ़ता है, तो ज्ञात कीजिए कि वह किस मंज़िल तक पानी पहुँचा सका। (2)
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उत्तर
(i) ए.पी. = 10, 24, 38, ...
d1 = 24 − 10
= 14
d2 = 38 − 24
= 14
d1 = d2
∴ दिए गए पद ए.पी. में हैं।
(ii) a = 10, d = 14, n = 11
Sn = `n/2` [2a + (n − 1)d]
S11 = `11/2` [2(10) + (11 − 1)14]
`11/2` [20 + 10 × 14]
`11/2` [20 + 140]
`11/2` × 160
11 × 80
= 880 सीढ़ियाँ
(iii) (क) प्रथम मंज़िल के लिए,
10 सीढ़ियाँ ऊपर और 10 सीढ़ियाँ नीचे,
∴ कुल = 20 = (2 × 10)
दूसरी मंज़िल के लिए, 24 सीढ़ियाँ ऊपर और 24 नीचे
∴ कुल = 48 = 2 × 24
∴ कुल सीढ़ियों की संख्या, जो वह ऊपर और नीचे चढ़ता है (छठी मंज़िल तक)
= 2 × 56
= 2 × `6/2` [2(10) + (6 − 1)14]
= 6 [20 + 70]
= 6 × 90
= 540
अथवा
(iii) (ख)
2 × Sn = 380
2 × `n/2` [2(10) + (n − 1)14] = 380
n [20 + 14n − 14] = 380
n [14n + 6] = 380
14n2 + 6n − 380 = 0
7n2 + 3n − 190 = 0
7n2 + 38n − 35n − 190 = 0
n(7n + 38) − 5(7n + 38) = 0
(7n + 38) (n − 5) = 0
7n + 38 = 0
n = `(-38)/7`
n − 5 = 0
n = 5
(संभव नहीं)
∴ वह 5वीं मंज़िल तक पानी के कैन पहुँचा सकता है।
