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प्रश्न
यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
मान लीजिए कि दी गई A.P. का पहला पद और सार्व अंतर क्रमशः a और d है।
पहले 7 पदों का योग, S7 = 49
हम जानते हैं
`S = n/2[2a + (n - 1)d]`
⇒ `7/2(2a + 6d) = 49`
⇒ `7/2 xx 2(a + 3d) = 49`
⇒ a + 3d = 7 ...(1)
पहले 17 पदों का योग, S17 = 289
⇒ `17/2(2a + 16d) = 289`
⇒ `17/2 xx 2(a + 8d) = 289`
⇒ a + 8d = `289/17`
⇒ a + 8d = 17 ...(2)
(1) से (2) घटाने पर, हमें मिलता है
5d = 10
d = `5/10`
⇒ d = 2
(1) में d का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है
a = 1
अब,
पहले n पदों का योग इस प्रकार है
`S_n = n/2[2a + (n - 1)d]`
= `n/2[2 xx 1 + (n - 1) xx 2]`
= `n/2 [2 + 2n - 2]`
= `n/2 [2n]`
= n2
इसलिए, समांतर श्रेणी के पहले n पदों का योग n2 है।
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