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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी ∆ABC, में `sin"A"/"a" = sin"B"/"b" = sin"C"/"c"`, जहाँ a, b, c क्रमश: A, B, C शीर्षों की सम्मुख भुजाओं के परिमाण को निरूपित करते हैं।
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उत्तर
मान लीजिए कि `vec"a", vec"b" और vec"c"` द्वारा निरूपित त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमश: BC, CA और AB हैं [आकृति से]
हम जानते हैं कि `vec"a" + vec"b" + vec"c"=vec0`.
अर्थात् `vec"a" + vec"b" = -vec"c"`
उपर्युक्त समिका का `vec"a"` द्वारा बाएँ ओर से सदिश गुणनफल तथा `vec"b"` द्वारा दाहिने ओर से सदिश गुणनफल प्राप्त करके सरल करने पर
`vec"a" xx vec"b" = vec"b"xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"`
⇒ `|vec"a" xx vec"b"| = |vec"b"xx vec"c"|`
= `|vec"c" xx vec"a"|`
⇒ `|vec"a" | |vec"b"|sin (pi - "C") = |vec"b"|| vec"c"| sin (pi - "A")`
= `|vec"c"|| vec"a"| sin (pi - "B")`
⇒ ab sin C = bc sinA = ca sinB
प्रत्येक पद को abc से भाग देने पर
`sin"C"/"c"= sin "A"/"a" = sin "B"/"b"`
अर्थात् `sin"A"/"a"= sin "B"/"b" = sin "C"/"c"`
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यदि `vec"a" = 2hat"i" - hat"j" + hat"k", vec"b" = hat"i" + hat"j" - 2hat"k"` और `vec"c" = hat"i" + 3hat"j" - hat"k"`, का वह मान ज्ञात कीजिए जिससे `vec"a"` सदिश `lambdavec"b" + vec"c"` पर लंब हो।
परिमाण 10`sqrt3` वाले उन सभी सदिशों को ज्ञात कीजिए जो `hat"i" + 2hat"j" + hat"k"` और `-hat"i" + 3hat"j" + 4hat"k"` को अंतर्विष्ट करने वाले तल पर लंब हो।
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यदि `vec"a" = hat"i" + hat"j" + 2hat"k"` और `hat"b" = 2hat"i" + hat"j" - 2hat"k"`, की दिशाओं में मात्रक सदिश है `2vec"a" - vec"b"`
`vec"PQ"` की दिशा में मात्रक संदिश ज्ञात कीजिए जहाँ P और Q के निर्देशांक क्रमश: (5, 0, 8) और (3, 3, 2) हैं।
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एक सदिश `vec"r"` का परिमाण 14 है तथा दिक्-अनुपात 2, 3, - 6 हैं। `vec"r"` के दिक्-कोसाइन और'घटक ज्ञात कीजिए जब कि यह दिया है कि x-अक्ष से `vec"r"` न्यून कोण बनता है।
यदि `vec"a" + vec"b" + vec"c"` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `vec"a" xx vec"b" = vec"b" xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"` इस परिणाम का ज्यामितीय विमोचन कीजिए।
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यदि `vec"a", vec"b", vec"c"` किसी त्रिभुज के शीर्षों को निर्धारित करते हैं तो, सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल `1/2[vec"b" xx vec"c" + vec"c" xx vec"a" + vec"a" xx vec"b"]` है। इसके प्रयोग से तीन बिंदुओं `vec"a", vec"b", vec"c"` के संरेखी होने के प्रतिबंध का निगमन कीजिए। साथ ही त्रिभुज के तल पर अभिलंब मात्रक सदिश भी ज्ञात कीजिए।
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