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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी ∆ABC, में `sin"A"/"a" = sin"B"/"b" = sin"C"/"c"`, जहाँ a, b, c क्रमश: A, B, C शीर्षों की सम्मुख भुजाओं के परिमाण को निरूपित करते हैं।
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उत्तर
मान लीजिए कि `vec"a", vec"b" और vec"c"` द्वारा निरूपित त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमश: BC, CA और AB हैं [आकृति से]
हम जानते हैं कि `vec"a" + vec"b" + vec"c"=vec0`.
अर्थात् `vec"a" + vec"b" = -vec"c"`
उपर्युक्त समिका का `vec"a"` द्वारा बाएँ ओर से सदिश गुणनफल तथा `vec"b"` द्वारा दाहिने ओर से सदिश गुणनफल प्राप्त करके सरल करने पर
`vec"a" xx vec"b" = vec"b"xx vec"c" = vec"c" xx vec"a"`
⇒ `|vec"a" xx vec"b"| = |vec"b"xx vec"c"|`
= `|vec"c" xx vec"a"|`
⇒ `|vec"a" | |vec"b"|sin (pi - "C") = |vec"b"|| vec"c"| sin (pi - "A")`
= `|vec"c"|| vec"a"| sin (pi - "B")`
⇒ ab sin C = bc sinA = ca sinB
प्रत्येक पद को abc से भाग देने पर
`sin"C"/"c"= sin "A"/"a" = sin "B"/"b"`
अर्थात् `sin"A"/"a"= sin "B"/"b" = sin "C"/"c"`
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