Question

शीर्ष बिंदु A(7, 1), B(3, 5) और C(2, 0) वाले त्रिभुज के परिवृत्त के केंद्र (परिकेंद्र) का निर्देशांक और त्रिज्या ज्ञात कीजिए। 

Answer 1

 

A(7, 1); B(3, 5) और C(2, 0).

मानो कि, O(a, b) यह वृत्त का परिकेंद्र है |

∴ OA = OB ............(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ `sqrt((a - 7)^2  + (b - 1)^2) = sqrt((a - 3)^2 + (b - 5)^2)` .................(दूरी सूत्र से)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(a - 7)² + (b - 1)² = (a - 3)² + (b - 5)²

∴ a² - 14a + 49 + b² - 2b + 1 = a² - 6a + 9 + b² - 10b + 25 

∴ -14a - 2b + 50 = -6a - 10b + 34 

∴  -14a + 6a - 2b + 10b = 34 - 50

∴ -8a + 8b = -16

-8(a - b) = -16

∴ a - b = `(-16)/(-8)` 

∴ a - b = 2 ...........................(1)

OB = OC ......................(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ `sqrt((a - 3)^2 + (b - 5)^2) = sqrt((a - 2)^2 + (b - 0)^2)`

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

`(a - 3)^2 + (b - 5)^2 = (a - 2)^2 + (b - 0)^2`

∴ `a^2 - 6a + 9 + b^2 - 10b + 25 = a^2 - 4a + 4 + b^2`

∴ -6a - 10b + 34 = -4a + 4

∴ -6a + 4a - 10b = -4 - 34

∴ -2a - 10b = -30

∴ -2(a + 5b) = -30

∴ a + 5b = `(-30)/(-2)`

∴ a + 5b = 15 ................(2)

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटने पर,

a + 5b = 15
a - b    = -2
-  +        -    
      6b = 13
∴ b = `13/6`

b का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a - b = 2

∴ a - `13/6 = 2`

∴ a = `2 + 13/6`

∴ a = `(12 + 13)/6`

∴ a = `25/6`

∴ परिकेंद्र का निर्देशांक `(25/6, 13/6)` है |

दूरी सूत्र से,

∴ त्रिज्याएँ = OC = `sqrt((2 - 25/6)^2 + (0 - 13/6)^2)`

= `sqrt(((12 - 25)/6)^2 + ((-13)/6)^2)`

= `sqrt(((-13)/6)^2 + ((-13)/6)^2`

= `sqrt(169/36 + 169/36)`

= `sqrt((169 xx 2)/36)`

= `(13sqrt2)/6`

∴ परिवृत्त की त्रिज्या `(13sqrt2)/6` है |

परिवृत्त के परिकेंद्र का निर्देशांक `underline((25/6, 13/6)` है और त्रिज्या `underline((13sqrt2)/6` है |