Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सदिशों के प्रयोग से k का मान ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु (k, -10, 3), (1, -1, 3) और(3, 5, 3) संरेखी हों।
Advertisements
उत्तर
मान लीजिए दिए गए बिंदु A(k, 10, 3), B(1, 1, 3) और C(3, 5, 3) हैं।
`vec"AB" = (1 - "k")hat"i" + (-1 + 10)hat"j" + (3 - 3)hat"k"`
`vec"AB" = (1 - "k")hat"i" + 9hat"j" + 0hat"k"`
∴ `|vec"AB"| = sqrt((1 - "k")^2 + (9)^2)`
= `sqrt((1 - "k")^2 + 81)`
`vec"BC" = (3 - 1)hat"i" + (5 + 1)hat"j" + (3 - 3)hat"k"`
= `2hat"i" + 6hat"j" + 0hat"k"`
∴ `|vec"BC"| = sqrt((2)^2 + (6)^2)`
= `sqrt(4 + 36)`
= `sqrt(40)`
= `2sqrt(10)`
`vec"AC" = (3 - "k")hat"i" + (5 + 10)hat"j" + (3 - 3)hat"k"`
= `(3 - "k")hat"i" + 15hat"j" + 0hat"k"`
∴ `|vec"AC"| = sqrt((3 - "k")^2 + (15)^2)`
= `sqrt((3 - "k")^2 + 225)`
यदि A, B और C संरेख हैं, तो
`|vec"AB"| + |vec"BC"| = |vec"AC"|`
`sqrt((1 - "k")^2 + 81) + sqrt(40) = sqrt((3 - "k")^2 + 225)`
हम जानते हैं कि, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
`[sqrt((1 - "k")^2 + 81) + sqrt(40)]^2 = [sqrt((3 - "k")^2 + 225)]^2`
⇒ `(1 - "k")^2 + 81 + 40 + 2sqrt(40) sqrt((1 - "k")^2 + 81) = (3 - "k")^2 + 225`
⇒ `1 + "k"^2 - 2"k" + 121 + 2sqrt(40) sqrt(1 + "k"^2 - 2"k" + 81) =9 + "k"^2 - 6"k" + 225`
⇒ `122 - 2"k" + 2sqrt(40) sqrt("k"^2 - 2"k" + 82) = 234 - 6"k"`
2 से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ `61 - "k" + sqrt(40) sqrt("k"^2 - 2"k" + 82) = 117 - 3"k"`
⇒ `sqrt(40) sqrt("k"^2 - 2"k" + 82) = 117 - 61 - 3"k" + "k"`
⇒ `sqrt(40) sqrt("k"^2 - 2"k" + 82) = 56 - 2"k"`
⇒ `sqrt(10) sqrt("k"^2 - 2"k" + 82) = 28 - "k"` ...(2 से भाग देना)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है
⇒ 10(k2 – 2k + 82) = 784 + k2 – 56k
⇒ 10k2 – 20k + 820 = 784 + k2 – 56k
⇒ 10k2 – k2 – 20k + 56k + 820 – 784 = 0
⇒ 9k2 + 36k + 36 = 0
⇒ k2 + 4k + 4 = 0
⇒ (k + 2)2 = 0
⇒ k = – 2
⇒ k = – 2
इसलिए, अभीष्ट मान k = – 2 है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
यदि बिंदु P और Q क्रमश: (1, 3, 2) और (-1, 0, 8) है, तो `vec"PQ"`, के विपरीत दिशा में परिमाण 11 का एक सदिश ज्ञात कीजिए।
यदि बिंदु (-1, -1, 2), (2, m, 5) और (3, 11, 6) सरेखी, हैं तो m का मान ज्ञात कीजिए।
सदिशों के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि cos (A – B) = cosA cosB + sinA sinB
सदिश `6vec"i" + 2vec"j" + 3vec"k"` का परिमाण है
प्रारम्भिक बिंदु P (2, - 3, 5) और अंतिम बिंदु Q(3, -4, 7) वाला सदिश है
x का वह मान जिसके लिए सदिश `2hat"i" - hat"j" + 2hat"k"` और सदिश `3hat"i" - lambdahat"j" + hat"k"` लंबवत है तो λ बराबर है
सदिश `vec"a" = 2hat"i" - hat"j" + hat"k"` का सदिश `vec"b" = hat"i" - 2hat"j" + 2hat"k"` के अनुदिश प्रक्षेप बराबर है
एक मात्रक सदिश जो सदिशों `hat"i" - hat"j"` और `hat"i" + hat"j"` दोनों के लंबवत है तथा एक दक्षिणावर्ती पद्धति को निर्मित करने वाला सदिश है।
यदि `|vec"a"|` = 3 और –1 ≤ k ≤ 2, है तो `|"k"vec"a"|` निम्नलिखित में से किस अंतराल में है?
सदिश `vec"a" = 2hat"i" - hat"j" + hat"k"` और `vec"b" = 2hat"j" + hat"k"` के योग के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
यदि `vec"a"` और `vec"b"` बिंदु A और B के क्रमश: स्थिति सदिश हैं तथा बढ़ाई गई BA में एक बिंदु C इस प्रकार है कि BC = 1.5 BA तो C का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
सदिशों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज ABC में cos A = `("b"^2 + "c"^2 - "a"^2)/(2"bc")`, होता है जहाँ a, b, c क्रमशः शीषों A, B, C, की सम्मुख भुजाओं के परिमाण हैं।
यदि `vec"a", vec"b", vec"c"` किसी त्रिभुज के शीर्षों को निर्धारित करते हैं तो, सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल `1/2[vec"b" xx vec"c" + vec"c" xx vec"a" + vec"a" xx vec"b"]` है। इसके प्रयोग से तीन बिंदुओं `vec"a", vec"b", vec"c"` के संरेखी होने के प्रतिबंध का निगमन कीजिए। साथ ही त्रिभुज के तल पर अभिलंब मात्रक सदिश भी ज्ञात कीजिए।
यदि `vec"a" = hat"i" + hat"j" + hat"k"` और `vec"b" = hat"j" - hat"k"` तो सदिश `vec"c"` ज्ञात कीजिए इस प्रकार कि `vec"a" xx vec"c" = vec"b"` और `vec"a"*vec"c"` = 3.
बिंदु `2vec"a" - 3vec"b"` और `vec"a" + vec"b"` को मिलाने वाले रेखाखंड को 3:1 में विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश है
यदि सदिश `3hat"i" - 6hat"j" + hat"k"` और `2hat"i" - 4hat"j" + lambdahat"k"` समांतर हैं तो λ का मान है
यदि `vec"a", vec"b", vec"c"` इस प्रकार के मात्रक सदिश हैं कि `vec"a" + vec"b" + vec"c"` = 0 है तो `vec"a" * vec"b" + vec"b" * vec"c" + vec"c" * vec"a"` का मान
सदिश `vec"a"` का सदिश `vec"b"` पर प्रक्षेप
यदि तीन सदिश `vec"a", vec"b", vec"c"` इस प्रकार हैं कि `vec"a" + vec"b" + vec"a" = vec0` और `|vec"a"|` = 2, `|vec"b"|` = 3, `|vec"c"|` = 5, है, तो `vec"a"*vec"b" + vec"b"*vec"c" + vec"c"*vec"a"` का मान
सदिशों `vec"a" = 2hat"i" + hat"j" + 2hat"k"` और `vec"b" = hat"j" + hat"k"` दोनों ही पर मात्रक लंब सदिशों की संख्या हैं
सदिश `vec"a" = 3hat"i" - 2hat"j" + 2hat"k"` और `vec"b" = -hat"i" - 2hat"k"` एक समांतर चतुर्भुज है। इसके विकर्णों के बीच का न्यूनकोंण ______ है।
यदि k के मानों के लिए `|"k"vec"a"| < |vec"a"|` और `"k"vec"a" + 1/2 vec"a"` सदिश `vec"a"` के समांतर है, तो k के मान ______ हैं।
यदि `vec"a"` कोई शुन्येतर सदिश है तो `(vec"a" .hat"i")hat"i" + (vec"a".hat"j")hat"j" + (vec"a".hat"k")hat"k"` ______ के बराबर है।
किसी बिंदु P का स्थिति सदिश का प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु होता है।
