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प्रश्न
मान निकालिए- `|("a" - "b" - "c", 2"a", 2"a"),(2"b", "b" - "c" - "a", 2"b"),(2"c", 2"c", "c" - "a" - "b")|`
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उत्तर
हमें दिया है, `|("a" - "b" - "c", 2"a", 2"a"),(2"b", "b" - "c" - "a", 2"b"),(2"c", 2"c", "c" - "a" - "b")|`
[R1 → R1 + R2 + R3 का प्रयोग करने पर]
= `|("a" + "b" + "c", "a" + "b" + "c", "a" + "b" + "c"),(2"b", "b" - "c" - "a", 2"b"),(2"c", 2"c", "c" - "a" - "b")|`
[पहली पंक्ति से (a + b + c) उभयनिष्ठ लेना]
= `("a" + "b" + "c")|(1, 1, 1),(2"b", "b" - "c" - "a", 2"b"),(2"c", 2"c", "c" - "a" - "b")|`
[C1 → C1 – C3 और C2 → C2 – C3 का प्रयोग करने पर]
= `("a" + "b" + "c")|(0, 0, 1),(0, -("a" + "b" + "c"), 2"b"),("a" + "b" + "c", "a" + "b" + "c", "c" - "a" - "b")|`
R1 के साथ विस्तार,
= (a + b + c) [1 × 0 + (a + b + c)2]
= (a + b + c)3
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निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए।
`|(2,4),(-5, -1)|`
यदि A = `[(1,2),(4,2)]`, तो दिखाइए |2A| = 4|A|।
यदि A = `[(1,0,1),(0,1,2),(0,0,4)]` हो, तो दिखाइए |3A| = 27|A|।
सिद्ध कीजिए कि सारणिक `|(x,sintheta,costheta),(-sintheta,-x,1),(costheta,1,x)|`, θ से स्वतंत्र है।
यदि Δ = `|(0, "b" - "a", "c" - "a"),("a" - "b", 0, "c" - "b"),("a" - "c", "b" - "c", 0)|`, दो दिखाइए कि Δ = 0 है।
सिद्ध कीजिए कि (A–1)′ = (A′)–1, जहाँ A एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
यदि Δ = `|(x, 2, 3),(1, x, 1),(3, 2, x)|` = 0, का एक मूल x = – 4 हो तो अन्य दो मूलों को ज्ञात कीजिए।
एक त्रिभुज ABC में यदि `|(1, 1, 1),(1 + sin"A", 1 + sin"B", 1 + sin"C"),(sin"A" + sin^2"A", sin"B" + sin^2"B", sin"C" + sin^2"C")|` = 0, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
सारणिक `|(1, 1, 1),(""^"n""C"_1, ""^("n" + 2)"C"_1, ""^("n" + 4)"C"_1),(""^"n""C"_2, ""^("n" + 2)"C"_2, ""^("n" + 4)"C"_2)|` = 8
मान निकालिए- `|("a" + x, y, z),(x, "a" + y, z),(x, y, "a" + z)|`
सिद्ध कीजिए - `|(y + z, z, y),(z, z + x, x),(y, x, x + y)|` = 4xyz
यदि A + B + C = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `|(1, cos"c", cos"B"),(cos"C", 1, cos"A"),(cos"B", cos"A", 1)|` = 0
यदि एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) तथा त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ‘a’ है तो सिद्ध कीजिए कि `|(x_1, y_1, 1),(x_2, y_2, 1),(x_3, y_3, 1)|^2 = (3"a"^4)/4`
दर्शाइए कि a के किसी भी मान के लिए बिंदु (a + 5, a – 4), (a – 2, a + 3) और (a, a) एक सरल रेखा में नहीं है।
दर्शाइए कि त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है यदि सारणिक
Δ = `[(1, 1, 1),(1 + cos"A", 1 + cos"B", 1 + cos"C"),(cos^2"A" + cos"A", cos^2"B" + cos"B", cos^2"C" + cos"C")]` = 0
आव्यूह विधि से समीकरण निकाय 3x + 2y – 2z = 3, x + 2y + 3z = 6, 2x – y + z = 2 को हल कीजिए।
यदि x + y + z = 0, तो सिद्ध कीजिए कि `|(x"a", y"b", z"c"),(y"c", z"a", x"b"),(z"b", x"c", y"a")| = xyz|("a", "b", "c"),("c", "a", "b"),("b", "c", "a")|`
सारणिक `|("b"^2 - "ab", "b" - "c", "bc" - "ac"),("ab" - "a"^2, "a" - "b", "b"^2 - "ab"),("bc" - "ac", "c" - "a", "ab" - "a"^2)|` बराबर है।
अंतराल `pi/4 x ≤ pi/4` में सारणिक `|(sinx, cosx, cosx),(cosx, sinx, cosx),(cosx, cosx, sinx)|` = 0 के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या है।
यदि A, B और C एक त्रिभुज के कोण हैं तो सारणिक
`|(-1, cos"C", cos"B"),(cos"C", -1, cos"A"),(cos"B", cos"A", -1)|` बराबर है।
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यदि A = `[(2, lambda, -3),(0, 2, 5),(1, 1, 3)]` तब A–1 का अस्तित्व है यदि
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`|(x + 1, x + 2, x + "a"),(x + 2, x + 3, x + "b"),(x + 3, x + 4, x + "c")|` = 0, जहाँ a, b, c, A.P में है।
यदि सारणिक `|(x + "a", "p" + "u", "l" + "f"),("y" + "b", "q" + "v", "m" + "g"),("z" + "c", "r" + "w", "n" + "h")|` को कोटि 3 के K सारणिकों में ऐसे विघटित किया जाए कि उनके प्रत्येक अवयव में केवल एक पद हो तब K का मान 8 है।
यदि Δ = `|("a", "p", x),("b", "q", y),("c", "r", z)|` = 16, है तब Δ1 = `|("p" + x, "a" + x, "a" + "p"),("q" + y, "b" + y, "b" + "q"),("r" + z, "c" + z, "c" + "r")|` = 32 होगा।
