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प्रश्न
एक वृत्त की दो बराबर AB और CD जीवाएँ बढ़ाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि PB = PD है।
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उत्तर
दिया गया है - एक वृत्त की दो समान जीवाएँ AB और CD एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है - PB = PD
रचना - OP को मिलाइए, OL ⊥ AB और OM ⊥ CD खींचिए।
प्रमाण - हमारे पास है, AB = CD
⇒ OL = OM ...[समान जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ होती हैं।]
ΔOLP तथा ΔOMP में,
OL = OM ...[ऊपर सिद्ध]
∠OLP = ∠OMP ...[प्रत्येक 90°]
और OP = OP ...[उभयनिष्ठ पक्ष]
∴ ΔOLP ≅ ΔOMP ...[RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा]
⇒ LP = MP [CPCT द्वारा] ...(i)
अब, AB = CD
⇒ `1/2 (AB) = 1/2 (CD)` ...[दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर]
⇒ BL = DM ...(ii) [केंद्र से जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींचा गया लंब अर्थात AL = LB और CM = MD]
समीकरण (ii) और समीकरण (i) को घटाने पर, हम पाते हैं।
LP – BL = MP – DM
⇒ PB = PD
अतः सिद्ध हुआ।
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