Question

\[\int \cot^5 x  \text{ dx }\]

Answer 1

∫ cot⁵ x dx
= ∫ cot⁴ x . cot x dx 

= ∫ (cosec² x – 1)² cot x dx
= ∫ (cosec⁴ x – 2 cosec² x + 1) cot x dx

= ∫ cosec⁴ x . cot x dx – 2 ​∫ cot x . cosec² x dx + ​∫ cot x dx
= ∫ cosec² x . cosec² x . cot x . dx – 2 ​∫ cot x cosec² x dx + ∫​ cot x dx

=∫ (1 + cot ² x) . cot x . cosec² x dx – 2 ​∫ cot x cosec² x dx + ​∫ cot x dx
= ∫ (cot x + cot³ x) cosec² x dx – 2 ​∫ cot x cosec² x dx + ​∫ cot x dx

Now, let I₁= ∫ (cot x + cot³ x) cosec² x dx – 2 ​∫ cot x cosec² x dx
And I₂= ∫ cot x dx
First we integrate I₁

_{I1= ∫ (cot x + cot³ x) cosec² x dx – 2 ​∫ cot x cosec² x dx
Let cot x = t
⇒ – cosec² x dx = dt}

_{⇒ cosec² x dx = – dt}

_{I1= ∫ (t + t³) (– dt) – 2​∫ t (–dt)
= –∫(t + t³) + 2​∫t dt}

_{\[= \left[ - \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{4} \right] + 2 . \frac{t^2}{2} + C_1 \]
\[ = \frac{t^2}{2} - \frac{t^4}{4} + C_1 \]
\[ = \frac{\cot^2 x}{2} - \frac{\cot^4 x}{4} + C_1\]}

_{Now we integrate I2
I2= ∫ cot x dx}

= \[\log\left| \sin x \right| + C_2\]

Now, ∫ cot⁵ x dx=I₁ + I_2]

\[- \frac{1}{4} \cot^4 x + \frac{1}{2} \cot^2 x + \log\left| \text{sin x }\right| + C_1 + C_2\]

\[- \frac{1}{4} \cot^4 x + \frac{1}{2} \cot^2 x + \log\left| \sin x \right| + C \left[ \therefore C = C_1 + C_2 \right]\]