SSC (Marathi Medium) १० वीं कक्षा - Maharashtra State Board Question Bank Solutions

जर tan θ – sin²θ = cos²θ, तर sin²θ = `1/2` हे दाखवा. 

(1 – cos²A) . sec²B + tan²B (1 – sin²A) = sin²A + tan²B हे सिद्ध करा.

(sin A + cos A) (cosec A – sec A) = cosec A . sec A – 2 tan A हे सिद्ध करा.

ΔABC मध्ये ∠ABC = 90°, ∠BAC = ∠BCA = 45°. जर AC = `9sqrt(2)` असेल, तर AB ची किंमत काढा.

जर P हा बिंदू A(4, -3) आणि B(8, 5) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे 3 : 1 या गुणोत्तरात विभाजन करत असेल, तर P बिंदूचे निर्देशक काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:

∴ रेषाखंडाच्या विभाजनाच्या सूत्रानुसार,

∴ x = `(mx_2 + nx_1)/square`,

∴ x = `(3 xx 8 + 1 xx 4)/(3 + 1)`,

= `(square + 4)/4`, 

∴ x = `square`

∴ y = `square/(m + n)`

∴ y = `(3 xx 5 + 1 xx (-3))/(3 + 1)`

= `(square - 3)/4`

∴ y = `square`

cotθ + tanθ = cosecθ × secθ हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:

डावी बाजू = cotθ + tanθ

= `costheta/sintheta + square/costheta`

= `(square + sin^2theta)/(sintheta xx costheta)`

= `1/(sintheta xx costheta)`     ......`because square`

= `1/sintheta xx 1/costheta`

= `square xx sectheta`

डावी बाजू = उजवी बाजू

दाखवा की: `tanA/(1 + tan^2 A)^2 + cotA/(1 + cot^2A)^2` = sinA × cosA.

सिद्ध करा:

cotθ + tanθ = cosecθ × secθ

उकल:

डावी बाजू = cotθ + tanθ

= `cosθ/sinθ + sinθ/cosθ`

= `(square + square)/(sinθ xx cosθ)`

= `1/(sinθ xx cosθ)` ............... `square`

= `1/sinθ xx 1/square`

= cosecθ × secθ

= उजवी बाजू

∴ cotθ + tanθ = cosecθ × secθ

θ चे निरसन करा:

जर x = r cosθ आणि y = r sinθ

जर `1/sin^2θ - 1/cos^2θ-1/tan^2θ-1/cot^2θ-1/sec^2θ-1/("cosec"^2θ) = -3`, तर θ ची किमत काढा.

sin²θ + cos²θ ची किंमत काढा.

उकलः

Δ ABC मध्ये, ∠ABC = 90°, ∠C = θ°

AB² + BC² = `square`   ...(पायथागोरसचे प्रमेय)

दोन्ही बाजूला AC² ने भागून,

`"AB"^2/"AC"^2 + "BC"^2/"AC"^2 = "AC"^2/"AC"^2`

∴ `("AB"^2/"AC"^2) + ("BC"^2/"AC"^2) = 1`

परंतु `"AB"/"AC" = square  "आणि"  "BC"/"AC" = square`

∴ `sin^2 theta  + cos^2 theta = square` 

खाली त्रिकोण आणि रेषाखंडाची लांबी दिली आहे. त्यावरून आकृतीत किरण PM हा ∠QPR चा दुभाजक आहे कि नाही ते ओळखा.

खाली त्रिकोण आणि रेषाखंडाची लांबी दिली आहे. त्यावरून आकृतीत किरण PM हा ∠QPR चा दुभाजक आहे कि नाही ते ओळखा. 

खाली त्रिकोण आणि रेषाखंडाची लांबी दिली आहे. त्यावरून आकृतीत किरण PM हा ∠QPR चा दुभाजक आहे कि नाही ते ओळखा. 

Δ MNP च्या ∠N चा NQ हा दुभाजक आहे. जर MN = 5, PN = 7, MQ = 2.5 तर QP काढा.

आकृतीमध्ये दिलेल्या माहितीवरून QP काढा.

Δ LMN मध्ये किरण MT हा ∠LMN चा दुभाजक आहे. जर LM = 6, MN = 10, TN = 8 तर LT काढा.

Δ ABC मध्ये रेख BD हा ∠ABC चा दुभाजक आहे, जर AB = x, BC = x + 5, AD = x - 2, DC = x + 2 तर x ची किंमत काढा.

Δ ABC मध्ये AB = AC, ∠B व ∠C चे दुभाजक बाजू AC व बाजू AB यांना अनुक्रमे बिंदू D व E मध्ये छेदतात. तर सिद्ध करा, की रेख ED || रेख BC.

ΔPQR मध्ये रेख PM ही मध्यगा आहे. ∠PMQ व ∠PMR चे दुभाजक बाजू PQ व बाजू PR ला अनुक्रमे X आणि Y बिंदूत छेदतात, तर सिद्ध करा XY || QR.

सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून सिद्धता पूर्ण करा.

ΔPMQ मध्ये किरण MX हा ∠PMQ चा दुभाजक आहे.

∴ `square/square = square/square` ..... (I) (कोनदुभाजकाचे प्रमेय)

ΔPMR मध्ये किरण MY हा ∠PMR चा दुभाजक आहे.

∴ `square/square = square/square` ..... (II) (कोनदुभाजकाचे प्रमेय)

परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` .....(M हा QR चा मध्य म्हणजेच MQ = MR)

∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`

∴ XY || QR ....(प्रमाणाच्या मूलभूत प्रमेयाचा व्यत्यास)