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एक सिक्का तथा एक पाँसा एक साथ उछाले गये, तो निम्न घटना की संभाव्यता ज्ञात कीजिये:
घटना B: पट तथा विषम संख्या मिलना।
Concept: घटना की संभाव्यता (Probability of an Event)
किसी महामार्ग के टोल नाके पर सुबह 6 बजे से शाम 6 बजे तक जमा किया गया कर रुपयों मेंं तथा वाहनों की संख्या की बारंबारता सारिणी दी गई है। इस आधार पर जमा किए गए कर का माध्य ‘अनुमानित माध्य’ पद्धति से ज्ञात कीजिए।
| जमा कर (रुपयों मेंं) |
300 - 400 | 400 - 500 | 500 - 600 | 600 - 700 | 700 - 800 |
| वाहनों की संख्या | 80 | 110 | 120 | 70 | 40 |
Concept: वर्गीकृत बारंबारता सारिणी से माध्य (Mean from Group Frequency Distribution) >> अनुमानित माध्य पद्धति (Assumed Mean Method)
किसी आमराई मेंं आम के पेड़ तथा प्रत्येक पेड़ से प्राप्त होने वाले आमों की संख्या का बारंबारता वितरण दिया गया हो तो दी गई सामग्री की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
| आमों की संख्या | 50 - 100 | 100 - 150 | 150 - 200 | 200 - 250 | 250 - 300 |
| पेड़ों की संख्या | 33 | 30 | 90 | 80 | 17 |
Concept: वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारिणी से माध्यिका (Median Group Frequency Distribution)
किसी जनरल स्टोर्स में विभिन्न वस्तुओं की कीमत तथा उनकी माँग को वर्गीकृत बारंबारता सारिणी में दिखाया गया है। इसके आधार पर कीमत की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
| कीमत (रुपयों में) | 20 से कम | 20 – 40 | 40 – 60 | 60 – 80 | 80 – 100 |
| वस्तुओं की संख्या | 140 | 100 | 80 | 60 | 20 |
Concept: वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारिणी से माध्यिका (Median Group Frequency Distribution)
निम्न सारणी का निरीक्षण करके माध्य ज्ञात कीजिये:
मानो अनुमानित मध्य A = 300
| वर्ग | वर्ग मध्य | di = xi – A | बारंबारता | बारंबारता × विचलन |
| xi | di = xi – 300 | fi | fi di | |
| 200 – 240 | 220 | – 80 | 5 | – 400 |
| 240 – 280 | 260 | – 40 | 10 | – 400 |
| 280 – 320 | 300 `rightarrow` A | 0 | 15 | 0 |
| 320 – 360 | 340 | 40 | 12 | 480 |
| 360 – 400 | 380 | 80 | 8 | 640 |
| कुल | `sum"f"_"i"` = 50 | `sum"f"_"i" "d"_"i"` = 320 |
Concept: वर्गीकृत बारंबारता सारिणी से माध्य (Mean from Group Frequency Distribution) >> अनुमानित माध्य पद्धति (Assumed Mean Method)
निम्न सामग्री से बारंबारता बहुभुज बनाइये:
| विद्युत बिल (₹) | परिवार |
| 200 – 400 | 240 |
| 400 – 600 | 300 |
| 600 – 800 | 450 |
| 800 – 1000 | 350 |
| 1000 – 1200 | 160 |
Concept: बारंबारता बहुभूज (Frequency Polygon)
एक सर्वेक्षण के आधार पर शहरों में 180 लोगों में से 70 पिज्जा खाने वाले, 60 बर्गर खाने वाले तथा 50 चिप्स खाने वाले लोग हैं, तो इस जानकारी से वृत्तालेख खींचिये।
Concept: वृत्तालेख बनाना (To Draw Pie Diagram)
नीचे दी गई बारंबारता बंटन सारणी में एक पेट्रोल पंप पर पेट्रोल भरवाने वाले वाहनों की संख्या और वाहनों में भरे गए पेट्रोल की मात्रा की जानकारी दी गई है। इससे वाहनों में भरे गये पेट्रोल के आयतन का बहुलक ज्ञात करने के लिए, निम्न कृति पूर्ण कीजिये :
| वर्ग (पेट्रोल लीटर में) | बारंबारता (वाहनों की संख्या) |
| 0.5 - 3.5 | 33 |
| 3.5 - 6.5 | 40 |
| 6.5 - 9.5 | 27 |
| 9.5 - 12.5 | 18 |
| 12.5 - 15.5 | 12 |
कृति:
दी गई सारणी से,
बहुलक वर्ग = `square`
∴ बहुलक = `square + [(f_1-f_0)/(2f_1-f_0 - square)]xxh`
∴ बहुलक = `3.5 + [(40-33)/(2(40)-33-27)]xxsquare`
∴ बहुलक = `3.5 +[7/(80-60)]xx3`
∴ बहुलक = `square`
∴ वाहनों में भरे गए पेट्रोल के आयतन का बहुलक `square` है।
Concept: वर्गीकृत बारंबारता बंटन से बहुलक (Mode from Grouped Frequency Distribution)
किसी विद्यालय में वार्षिक आर्थिक नियोजन में अलग-अलग खेल पर खर्च की गई राशि का वृत्तालेख दर्शाया हैं। यदि फुटबॉल पर खर्च की गई राशि 9,000 रुपये हो, तो निम्न प्रश्नों का उत्तर लिखिये:
- खेल पर कुल कितनी राशि खर्च की गई?
- क्रिकेट पर कितनी राशि खर्च की गई?
Concept: वृत्तालेख का वाचन (Reading of Pie Diagram)
किसी परीक्षा के परिणाम के प्रतिशत का वर्ग तथा उस वर्ग वाले छात्रों की संख्या निम्नलिखित सारणी में दी गई है। इस सारणी के आधार पर बिना बारंबारता बहुभुज खींचे आयतालेख बनाइये :
| परिणाम (प्रतिशत) | छात्रों की संख्या |
| 20 - 40 | 25 |
| 40 - 60 | 65 |
| 60 - 80 | 80 |
| 80 - 100 | 15 |
Concept: आयतालेख : Histogram
नीचे दी गई सारणी में एक सॉफ्टवेयर कंपनी में दैनिक कार्य के घंटों तथा उतनीदेर कार्य करने वाले व्यक्तियों की संख्या दी गई है। इस आधार पर 'उच्च वर्ग सीमा से कम' संचयी बारंबारता सारणी बनाइये:
| दैनिक कार्य के घंटे | कर्मचारियों की संख्या |
| 8 - 10 | 150 |
| 10 - 12 | 500 |
| 12 - 14 | 300 |
| 14 - 16 | 50 |
Concept: वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारिणी से माध्यिका (Median Group Frequency Distribution)
समलंब चतुर्भुज ABCD में, भुजा AB || भुजा PQ || भुजा DC, यदि AP = 15, PD = 12, QC = 14 तो BQ का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: तीन समांतर रेखाएँ तथा उनकी तिर्यक रेखा का गुणधर्म (Property of Three Parallel Lines and Their Transversal)
ΔLMN ~ ΔPQR, 9 × A(ΔPQR ) = 16 × A (ΔLMN), यदि QR = 20 तो MN का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
यदि ΔABC तथा ΔPQR में किसी एकैकी संगति से यदि `(AB)/(QR) = (BC)/(PR) = (CA)/(PQ)` तो निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
Concept: दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ( Ratio of Areas of Two Triangles)
ΔABC में B – D – C और BD = 7, BC = 20, तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए।
`(A(∆ABD))/(A(∆ABC))`
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
यदि ΔABC ∼ΔPQR, AB : PQ = 4 : 5 तथा A(ΔPQR) = 125 सेमी2 हो, तो A(ΔABC) का मान ज्ञात करो.
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
ΔABC में, रेख XY || रेख AC. यदि 2AX = 3BX तथा XY = 9 हो, तो AC का मान ज्ञात करो।
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
यदि ΔABC ∼ ΔPQR तथा `("A"(Delta"ABC"))/("A"(Delta"PQR")) = 16/25`, हो, तो AB : PQ का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
